选修2-3 1.3.1 二项式定理

一、选择题

1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()

A．2n 　 　 B．2n＋1

C．2n－1　 　 D．2(n＋1)

[答案]　B

2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()

A．Crn B．Cr＋1n

C．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n

[答案]　D

3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()

A．－27C610 B．27C410

C．－9C610 D．9C410

[答案]　D

[解析]　∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，

解得r＝4.系数为(－3)4C410＝9C410.

4．(2010全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()

A．－4 B．－2

C．2 D．4

[答案]　C

[解析]　(1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，

故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.

5．在2x3＋1x2n(nN*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()

A．3 B．5

C．8 D．10

[答案]　B

[解析]　Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－rCrnx3n－5r.

令3n－5r＝0，∵0n，r、nZ.

n的最小值为5.

6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()

A．－297 B．－252

C．297 D．207

[答案]　D

[解析]　x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．

其系数为C510＋C210(－1)＝207.

7．(2009北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()

A．3 B．4

C．5 D．6

[答案]　D

[解析]　通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.

8．(2010陕西理，4)(x＋ax)5(xR)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()

A．－1 B.12

C．1 D．2

[答案]　D

[解析]　Cr5xr(ax)5－r＝Cr5a5－rx2r－5，令2r－5＝3，r＝4，

由C45a＝10，得a＝2.

9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()

A.112＜x＜15 B.16＜x＜15

C.112＜x＜23 D.16＜x＜25

[答案]　A

[解析]　由T2T3得C162x1C162xC26(2x)2112＜x＜15.

10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()

A．4项 B．5项

C．6项 D．7项

[答案]　A

[解析]　Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r(32)20－rCr20x20－r，

∵系数为有理数，

(2)r与220－r3均为有理数，

r能被2整除，且20－r能被3整除，

故r为偶数，20－r是3的倍数，020.

r＝2,8,14,20.

二、填空题

11．(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．

[答案]　－162

12．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．

[答案]　5

[解析]　解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)C13(－1)＝5；

解法二：C35(－1)3＋C12C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.

13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．

[答案]　2

[解析]　C36(x2)31ax3＝20a3x3＝52x3，a＝2.

14．(2010辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．

[答案]　－5

[解析]　(1＋x＋x2)x－1x6

＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，

要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，

令6－2r＝0，r＝3，

令6－2r＝－1，无解．

令6－2r＝－2，r＝4.

常数项为－C36＋C46＝－5.

三、解答题

15．求二项式(a＋2b)4的展开式．

[解析]　根据二项式定理

(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得

(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.

16．m、nN*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

[解析]　由题设m＋n＝19，∵m，nN*.

m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.

x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.

当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.

17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

[解析]　(1)Tr＋1＝Crn(3x)n－r(－123x)r

＝Crn(x13)n－r(－12x－13)r

＝(－12)rCrnxn－2r3.

∵第6项为常数项，

r＝5时有n－2r3＝0，n＝10.

(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，

所求的系数为C210(－12)2＝454.

(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3r10rZ

令10－2r3＝k(kZ)，则10－2r＝3k，

即r＝10－3k2＝5－32k.

∵rZ，k应为偶数，k可取2,0，－2，

r＝2,5,8，第3项、第6项与第9项为有理项．

它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，

C810(－12)8x－2.

18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．

[解析]　通项为：Tr＋1＝Crn(x)n－r124xr.

由已知条件知：C0n＋C2n122＝2C1n12，解得：n＝8.

记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：

tktk＋1且tktk－1.

又tr＝Cr－182－r＋1，于是有：

Ck－182－k＋1Ck82－kCk－182－k＋1Ck－282－k＋2

即8！(k－1)！(9－k)！8！k！(8－k)！，8！(k－1)！(9－k)！8！(k－2)！(10－k)！2.

29－k1k，1k－1210－k.解得34.

系数最大项为第3项T3＝7x35和第4项T4＝7x74.