选修2-21.7定积分的简单应用

一、选择题

1．如图所示，阴影部分的面积为()

A.abf(x)dx　 B.abg(x)dx

C.ab[f(x)－g(x)]dx D.ab[g(x)－f(x)]dx

[答案]　C

[解析]　由题图易知，当x[a，b]时，f(x)g(x)，所以阴影部分的面积为ab[f(x)－g(x)]dx.

2．如图所示，阴影部分的面积是()

A．23 B．2－3

C.323 D.353

[答案]　C

[解析]　S＝1－3(3－x2－2x)dx

即F(x)＝3x－13x3－x2，

则F(1)＝3－1－13＝53，

F(－3)＝－9－9＋9＝－9.

S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.

3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()

A.02(x2－1)dx

B．|02(x2－1)dx|

C.02|x2－1|dx

D.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx

[答案]　C

[解析]　y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.

4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为()

A.abf(x)dx B．|abf(x)dx|

C.ab|f(x)|dx D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　当f(x)在[a，b]上满足f(x)0时，abf(x)dx0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，abf(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.

5．曲线y＝1－1681x2与x轴所围图形的面积是()

A．4 B．3

C．2 D.52

[答案]　B

[解析]　曲线与x轴的交点为－94，0，94，0

故应选B.

6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t

＝0s到t＝3s时间段内的位移是

()

A．31m　 B．36m　

C．38m　 D．40m

[答案]　B

[解析]　S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.

7．(2010山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()

A.112　 B.14　

C.13　 D.712

[答案]　A

[解析]　由y＝x2y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．

S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.

8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()

A．8J　 B．10J　

C．12J　 D．14J

[答案]　D

[解析]　由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J)，故应选D.

9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()

A.12 B．3－322

C．6＋32 D．6－32

[答案]　D

[解析]　3636tdt＝66t63＝6－32，故应选D.

10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为()

A．y＝ax B．y＝ax

C．y＝－ax D．y＝－5ax

[答案]　B

[解析]　设直线l的方程为y＝kx，

由y＝kxy＝x2－2ax得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)

图形面积S＝2a＋k0[kx－(x2－2ax)]dx

＝k＋2a2x2－x332a＋k0

＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3

k＝a，l的方程为y＝ax，故应选B.

二、填空题

11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．

[答案]　18

[解析]　如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．

因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy

取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.

12．一物体沿直线以v＝1＋tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．

13．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．

[答案]　43

[解析]　如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.

14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝2t　(01)at (12)bt (2e)

则该物体在0e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．

[答案]　9－8ln2＋2ln2

[解析]　∵01时，v(t)＝2t，v(1)＝2；

又12时，v(t)＝at，

v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；

又2e时，v(t)＝bt，

v(2)＝b2＝4，b＝8.

路程为S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2.

三、解答题

15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．

[解析]　由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x＝3.

从而所求图形的面积

S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx

＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx

＝03(－x2＋3x)dx

＝－13x3＋32x230＝92.

16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f(x)＝2x＋2.

(1)求y＝f(x)的表达式；

(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，则f(x)＝2ax＋b，

又已知f(x)＝2x＋2，a＝1，b＝2，

f(x)＝x2＋2x＋c.

又方程f(x)＝0有两个相等实根．

判别式＝4－4c＝0，即c＝1.

故f(x)＝x2＋2x＋1.

(2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，

13x3＋x2＋x－t－1＝13x3＋x2＋x0－t

即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.

2t3－6t2＋6t－1＝0，

2(t－1)3＝－1，t＝1－132.

17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：

(1)A、C间的距离；

(2)B、D间的距离；

(3)电车从A站到B站所需的时间．

[解析]　(1)设A到C经过t1s，

由1.2t＝24得t1＝20(s)，

所以AC＝2001.2tdt＝0.6t2200＝240(m)．

(2)设从DB经过t2s，

由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，

所以DB＝200(24－1.2t)dt＝240(m)．

(3)CD＝7200－2240＝6720(m)．

从C到D的时间为t3＝672024＝280(s)．

于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．

18．在曲线y＝x2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：

(1)切点A的坐标；

(2)过切点A的切线方程．

[解析]　如图所示，设切点A(x0，y0)，由y＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，

即y＝2x0x－x20.

令y＝0得x＝x02，即Cx02，0.

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，

S＝S曲边△AOB－S△ABC.

S曲边△AOB＝x00x2dx＝13x30，

S△ABC＝12|BC||AB|

＝12x0－x02x20＝14x30，

即S＝13x30－14x30＝112x30＝112.

所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.