2016-10-26
收藏
选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1.(2010安徽理,1)i是虚数单位,i3+3i=()
A.14-312i
B.14+312i
C.12+36i
D.12-36i
[答案] B
[解析] i3+3i=i(3-3i)(3+3i)(3-3i)
=3+3i12=14+312i,故选B.
2.在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] B
[解析] 考查复数的运算.
z=-2+i,对应点位于第二象限,
选B.
3.已知z是纯虚数,z+21-i是实数,那么z等于()
A.2i
B.i
C.-i
D.-2i
[答案] D
[解析] 本小题主要考查复数的运算.
设z=bi(bR),则z+21-i=2+bi1-i=2-b2+b+22i,
b+22=0,b=-2,
z=-2i,故选D.
4.i是虚数单位,若1+7i2-i=a+bi(a,bR),则乘积ab的值是()
A.-15
B.-3
C.3
D.15
[答案] B
[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算.
1+7i2-i=(1+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=-5+15i5=-1+3i=a+bi,
a=-1,b=3,ab=-3.
5.设z是复数,a(z)表示满足zn=1的最小正整数n,则对虚数单位i,a(i)=()
A.8
B.6
C.4
D.2
[答案] C
[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算.
∵a(z)表示使zn=1的最小正整数n.
又使in=1成立的最小正整数n=4,a(i)=4.
6.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则5iz=()
A.2-i
B.2+i
C.-2-i
D.-2+i
[答案] A
[解析] 考查复数的运算.
z=-1+2i,则5i-1+2i=5i(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)
=10-5i5=2-i.
7.设a,bR且b0,若复数(a+bi)3是实数,则()
A.b2=3a2
B.a2=3b2
C.b2=9a2
D.a2=9b2
[答案] A
[解析] 本小题主要考查复数的运算.
(a+bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i
=a3-3ab2+(3a2b-b3)i,
3a2b-b3=0,3a2=b2,故选A.
8.设z的共轭复数是z,若z+z=4,zz=8,则zz等于()
A.i
B.-i
C.1
D.i
[答案] D
[解析] 本题主要考查复数的运算.
设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi,
由z+z=4,zz=8得2a=4a2+b2=8a=2b=2
z=2+2i,z=2-2i或z=2-2i,z=2+2i,zz=2-2i2+2i=-i或zz=2+2i2-2i=i.zz=i,故选D.
9.(2010新课标全国理,2)已知复数z=3+i(1-3i)2,z-是z的共轭复数,则zz-=()
A.14
B.12
C.1
D.2
[答案] A
[解析] ∵z=3+i(1-3i)2=3+i1-23i-3=3+i-2-23i
=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2(1+3)
=3-3i+i+3-8=23-2i-8=3-i-4,z-=3+i-4,
zz-=|z|2=14,故选A.
10.定义运算a bc d=ad-bc,则符合条件1 -1zzi=4+2i的复数z为()
A.3-i
B.1+3i
C.3+i
D.1-3i
[答案] A
[解析] 由定义得1 -1zzi=zi+z=z(1+i)=4+2i
z=4+2i1+i=3-i.
故应选A.
二、填空题
11.1+i1-i表示为a+bi(a,bR),则a+b=________.
[答案] 1
[解析] 本小题考查复数的除法运算.
∵1+i1-i=(1+i)22=i,a=0,b=1.
因此a+b=1.
12.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=________.
[答案] 1+i
[解析] 本题主要考查复数的运算.
∵z=i(2-z),z=2i1+i=1+i.
13.关于x的不等式mx2-nx+p0(m、n、pR)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于原复平面内的第________象限.
[答案] 二
[解析] ∵mx2-nx+p0(m、n、pR)的解集为(-1,2),m0(-1)+2=nm(-1)2=pm,即m0,p0.
故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.
14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1z2为纯虚数,则实数a的值为________.
[答案] 83
[解析] 设z1z2=bi(bR且b0),z1=bi(z2),即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.a=4b2=3ba=83.
三、解答题
15.计算:
(1)-23+i1+23i+21+i2000+1+i3-i;
(2)1+in+i2n+…+i2000n(nN).
[解析] (1)原式=-23+i-i(-23+i)+(-i)100+1+i3-i
=i+1+15+25i=65+75i.
(2)当n=4k(kN)时,原式=1+1+…+1 2001=2001.
当n4k(kN)时,
原式=1-i2001n1-in=1-i2000nin1-in=1-in1-in=1.
16.已知复数z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i,=z+ai(aR),当2时,求a的取值范围.
[解析] z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i
=(2+4i)-(1+3i)i=1+ii=-i(1+i)1=1-i
∵=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i
z=1+(a-1)i1-i=[1+(a-1)i](1+i)2=2-a+ai2
z=(2-a)2+a222
a2-2a-20,1-31+3
故a的取值范围是[1-3,1+3].
17.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,cR).
(1)求b,c的值;
(2)试证明1-i也是方程的根.
[解析] (1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根
(1+i)2+b(1+i)+c=0
即b+c+(2+b)i=0
b+c=02+b=0解得b=-2c=2.
(2)由(1)知方程为x2-2x+2=0
把1-i代入方程左边得
左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边,即方程成立
1-i也是方程的根.
18.已知=z+i(zC),z-2z+2是纯虚数,又|+1|2+|-1|2=16,求.
[解析] 设z=a+bi(a,bR)
z-2z+2=(a-2)+bi(a+2)+bi=(a2+b2-4)+4bi(a+2)2+b2
由z-2z+2是纯虚数得a2+b2=4b0 ①
|+1|2+|-1|2=|z+i+1|2+|z+i-1|2
=|a+bi+i+1|2+|a+bi+i-1|2
=|(a+1)+(b+1)i|2+|(a-1)2+(b+1)i|2
=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2
=2(a2+b2)+4+4b=8+4+4b=12+4b=16,
b=1,
将b=1代入①得a=3.
z=3+i,=3+2i.
高三数学平面向量复习
高三数学对称问题.
高三数学命题复习
高三数学平面复习
高三数学离散型随机变量的期望与方差复习
高三数学排列复习
高三数学棱柱、棱锥的概念和性质1
高三数学例析定积分的综合应用
高三数学旋转体的概念和性质
高三数学二次函数方程
高三数学立体几何备考指导
高三数学例析圆中弦的应用
高三数学解题方法复习15
高三数学分段函数
高三数学棱柱、棱锥的概念和性质3
高三数学解析几何专题复习
高三数学棱柱、棱锥的概念和性质2
高三数学解题方法复习17
高三数学计数原理2
高三数学旋转体的概念
高三数学立体几何复习
高三数学作抛物线的切线
高三数学三角公式总表
高三数学互斥事件有一个发生的概率2
高三数学不等式解法举例
高三数学聚焦数列
高三数学逻辑联结词复习
高三数学结构图
高三数学函数讲义
高三数学考场应对技巧
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |