独立重复试验与二项分布

一、选择题

1．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，A发生k次的概率为()

A．1－pk

B．(1－p)kpn－k

C．(1－p)k

D．Ckn(1－p)kpn－k

[答案]　D

[解析]　在n次独立重复试验中，事件A恰发生k次，符合二项分布，而P(A)＝p，则P(A)＝1－p，故P(X＝k)＝Ckn(1－p)kpn－k，故答案选D.

2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()

A.13　 B.25　

C.56　 D.34

[答案]　A

[解析]　事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝6581，所以1－p＝23，p＝13，故答案选A.

3．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()

A．3.3210－5 B．3.3210－9

C．6.6410－5 D．6.6410－9

[答案]　B

[解析]　相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P＝C4100.0024(1－0.002)63.3210－9，应选B.

4．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于()

A.316 B.4243

C.13243 D.80243

[答案]　D

[解析]　已知X～B6，13，P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝13时有P(X＝2)＝C261321－136－2＝C26132234＝80243.

5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()

A.16625 B.96625

C.192625 D.256625

[答案]　B

[解析]　P＝C24452152＝96625.

6．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正品，则P(＝3)＝()

A．C2314234 B．C2334214

C.14234 D.34214

[答案]　C

7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为()

A．0.930.1

B．0.93

C．C340.930.1

D．1－0.13

[答案]　C

[解析]　由独立重复试验公式可知选C.

8．(2010保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()

A．(12)5 B．C25(12)5

C．C35(12)3 D．C25C35(12)5

[答案]　B

[解析]　由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2＝C35(12)5＝C25(12)5.

二、填空题

9．已知随机变量X～B(5，13)，则P(X4)＝________.

[答案]　11243

10．下列例子中随机变量服从二项分布的有________．

①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(MN)；

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数．

[答案]　①③

[解析]　对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(＝k)＝Ckn13k23n－k，符合二项分布的定义，即有～B(n，13)．

对于②，的取值是1,2,3，……，P(＝k)＝0.90.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布．

③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有～Bn，MN.

故应填①③.

11．(2010湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．

[答案]　0.9477

[解析]　本题主要考查二项分布．

C340.930.1＋(0.9)4＝0.9477.

12．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.

[答案]　10

[解析]　当p＝12时，P(X＝k)＝Ck2012k1220－k

＝1220Ck20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．

三、解答题

13．在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列．

[解析]　设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1－(1－x)2＝0.36，解得x＝0.2.

所以解出该题人数X的分布列为

X 0 1 2

P 0.64 0.32 0.04

14.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01)

[解析]　10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X＝9)＝C9100.990.110.39.

15．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．

[解析]　因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以一个坑不需要补种的概率为1－18＝78.

3个坑都不需要补种的概率为

C031807830.670，

恰有1个坑需要补种的概率为

C131817820.287，

恰有2个坑需要补种的概率为

C231827810.041，

3个坑都需要补种的概率为

C331837800.002.

补种费用X的分布列为

X 0 10 20 30

P 0.670 0.287 0.041 0.002

16.(2010全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．

(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．

[分析]　本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．

[解析]　(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用．

则D＝A＋BC，

而P(A)＝0.50.5＝0.25，P(B)＝20.50.5＝0.5，P(C)＝0.3

故P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.50.3＝0.4.

(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，

X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296

P(X＝1)＝C140.4(1－0.4)3＝0.3456

P(X＝2)＝C240.42(1－0.4)2＝0.3456

P(X＝3)＝C340.43(1－0.4)＝0.1536

P(X＝4)＝0.44＝0.0256