选修2-2 1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则

一、选择题

1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()

A．1　 　 B．2　 　

C．3　 　 D．4

[答案]　D

[解析]　y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)

＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，

y|x＝1＝4.

2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()

A．x4 B．x4－2

C．4x3－5 D．x4＋2

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1

1＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.

3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()

A.nn＋1 B.n＋2n＋1

C.nn－1 D.n＋1n

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，

m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，

即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，

数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：

Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)

＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1

＝1－1n＋1＝nn＋1，

故选A.

4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]　C

[解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，

顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.

5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()

A．6x5＋12x2 B．4＋2x3

C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x

[答案]　A

[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，

y＝6x5＋12x2.

6．(2010江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()

A．－1 B．－2

C．2 D．0

[答案]　B

[解析]　本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2

要善于观察，故选B.

7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()

A．0 B．－1

C．－60 D．60

[答案]　D

[解析]　∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.

8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()

A．22cos2x－ B．cos2x－sin2x

C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4

[答案]　A

[解析]　y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)

＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.

9．(2010高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()

A．3 B．2

C．1 D.12

[答案]　A

[解析]　由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.

10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()

A．－15 B．0

C.15 D．5

[答案]　B

[解析]　由题设可知f(x＋5)＝f(x)

f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)

又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)

即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0

故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.

二、填空题

11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.

[答案]　2sinx＋4，1＋sin2x

[解析]　f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2

＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.

[f(x)]＝1＋sin2x.

12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝________.

[答案]　6

[解析]　f(x)＝－3sin(3x＋)，

f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)

＝2sin3x＋＋56.

若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，

即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．

又∵(0，)，6.

13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．

[答案]　32x(1＋2x2)7

[解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8，

yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x

＝32x(1＋2x2)7.

14．函数y＝x1＋x2的导数为________．

[答案]　(1＋2x2)1＋x21＋x2

[解析]　y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.

三、解答题

15．求下列函数的导数：

(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；

(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.

[解析]　(1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)

＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.

(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)

＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .

(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .

(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2

＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2

＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.

16．求下列函数的导数：

(1)y＝cos2(x2－x)；　 　(2)y＝cosxsin3x；

(3)y＝xloga(x2＋x－1)；　(4)y＝log2x－1x＋1.

[解析]　(1)y＝[cos2(x2－x)]

＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]

＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)

＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)

＝(1－2x)sin2(x2－x)．

(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)

＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.

(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.

(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2

＝2log2ex2－1.

17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．

[解析]　∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2

＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，

又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．

g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.

18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)

(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．

[解析]　(1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.

解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.

(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，