第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数z是实数的充分而不必要条件为()

A．|z|＝z　 B．z＝z

C．z2是实数 D．z＋z是实数

[答案]　A

[解析]　由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|z，故|z|＝z是z为实数的充分不必要条件，故选A.

2．(2010湖北理，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()

A．E B．F

C．G D．H

[答案]　D

[解析]　由图可知z＝3＋i，

z1＋i＝3＋i1＋i＝(1－i)(3＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i2＝2－i，对应复平面内的点H，故选D.

3．(2010荷泽高二期中)化简2＋4i(1＋i)2的结果是()

A．2＋i B．－2＋i

C．2－i D．－2－i

[答案]　C

[解析]　2＋4i(1＋i)2＝2＋4i2i＝2－i.

4．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i、－2＋i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()

A．3＋i B．3－i

C．1－3i D．－1＋3i

[答案]　D

[解析]　在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.

5．(2010新课标全国文，3)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，则|z|＝()

A.14 　 B.12 　

C．1 　 D．2

[答案]　B

[解析]　由题知：z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i－2－23i＝(3＋i)(－2＋23)(－2－23i)(－2＋23i)＝－34＋14i，可得|z|＝(－34)2＋(14)2＝12，故选B.

6．当z＝－1－i2时，z100＋z50＋1的值是()

A．1 B．－1

C．i D．－i

[答案]　D

[解析]　原式＝－1－i2100＋－1－i250＋1

＝1－i2250＋1－i2225＋1

＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.

7．复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数，则实数b＝()

A．2 B.12

C．－12 D．－2

[答案]　A

[解析]　(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i是纯虚数，2－b＝02b＋10，b＝2.

8．复数z＝－1＋i1＋i－1，在复平面内z所对应的点在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]　B

[解析]　z＝(－1＋i)i(1＋i)i－1＝(－1＋i)i－1＋i－1＝－1＋i.

9．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1z2是实数，则实数t等于()

A.34 B.43

C．－43 D．－34

[答案]　A

[解析]　z1z－2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1z2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝34.因此选A.

10．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝()

A．2i B．－2i

C．2 D．－2

[答案]　B

[解析]　∵z＝1－i，

z2－2zz－1＝－2i－2＋2i1－i－1＝－2－i＝－2i，故选B.

11．若z＝cos＋isin(i为虚数单位)，则使z2＝－1的值可能是()

A. B.

C. D.2

[答案]　D

[解析]　解法1：将选项代入验证即可．验证时，从最特殊的角开始．

解法2：z2＝(cos＋isin)2＝(cos2－sin2)

＋2isincos＝cos2＋isin2＝－1，

sin2＝0cos2＝－1，2＝2k(kZ)，

＝k2(kZ)，令k＝0知选D.

12．设复数z＝lg(m2－1)＋1－mi，z在复平面内的对应点()

A．一定不在一、二象限

B．一定不在二、三象限

C．一定不在三、四象限

D．一定不在二、三、四象限

[答案]　C

[解析]　∵m2－101－m0，m＜－1，此时lg(m2－1)可正、可负，1－m＞2，故选C.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)

13．已知x＋1x＝－1，则x2006＋1x2006的值为________．

[答案]　－1

[解析]　∵x＋1x＝－1，x2＋x＋1＝0.

x＝－1232i，x3＝1.

2006＝3668＋2，x2006＝x3668＋2＝x2，

x2006＋1x2006＝x2＋1x2＝x＋1x2－2＝(－1)2－2

＝－1.

14．若x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________.

[答案]　22

[解析]　∵x、y为共轭复数，x＋y、xyR

由复数相等的条件有：(x＋y)2＝4－3xy＝－6

设x＝a＋bi(a、bR)，则y＝a－bi，

(2a)2＝4a2＋b2＝2，|x|＋|y|＝2a2＋b2＝22.

15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x、y的值分别为________．

[答案]　x＝1，y＝1

[解析]　原式可以化为

(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，

根据复数相等的充要条件，有

3y－2x＝1，x－10y＝－9.解得x＝1，y＝1.

16．下列命题中，错误命题的序号是____________．

①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；④z是虚数的一个充要条件是z＋zR；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数zR的一个充要条件是z＝z；⑦在复数集内，－1的平方根是i；⑧z21＋z22＝0z1＝z2＝0.

[答案]　①②③④⑤⑧

[解析]　①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z1，z2，z3不全是实数时不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1时满足条件，但z1z3；③错误，当x＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a＝b＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z1＝i，z2＝1满足i2＋12＝0，但z10，z20.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3＋i，向量AC对应复数是－2－4i，向量BC表示的复数是－4－i，求B点对应复数．

[解析]　∵CA表示的复数是2＋4i，

CB表示的复数是4＋i，

AB表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，

故OB＝OA＋AB对应的复数为

(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，

B点对应的复数为zB＝5－2i.

18．(本题满分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz.

[解析]　设z＝a＋bi，则z＝a－bi(a，bR)

(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i

(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i

a＋2b＝42a－b＝3，a＝2，b＝1，z＝2＋i，

z＝2－i，

zz＝2＋i2－i＝(2＋i)25＝35＋45i.

19．(本题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋1z＜0，求z.

[解析]　设z＝x＋yi (x、yR，y0)，x2＋y2＝1.

则z2＋2z＋1z＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋1x＋yi

＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.

∵y0，z2＋2z＋1z0，

2x＋1＝0，　①x2－y2＋3x＜0， ②

又x2＋y2＝1. 　③

由①②③得 x＝－12，y＝32.

z＝－1232i.

20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

[解析]　(1)设z＝a＋bi(a，bR)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.

所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.

(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|1＝1221＝1.

当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.

所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|1＝1221＝1.即△ABC的面积为1.

21．(本题满分12分)已知复数z1，z2满足条件|z1|＝2，|z2|＝3，且3z1＋2z2＝6，求复数z1和z2.

[解析]　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，dR)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，由3z1＋2z2＝6，得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，

由复数相等得3a＋2c＝6，3b＋2d＝0.

解方程组a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，3a＋2c＝6，3b＋2d＝0，得a＝1，b＝3，c＝32，d＝－332，或a＝1，b＝－3，c＝32，d＝332.

所以z1＝1＋3i，z2＝32－323i，或z1＝1－3i，z2＝32＋323i.

22．(本题满分14分)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，aR，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式．

[解析]　|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.

令t＝2x＋2－x，则t2，且22x＋2－2x＝t2－2.

从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2，

当－a2，即a－2时，g(a)＝a2－2；

当－a2，即a－2时，g(a)＝(a＋2)2＋a2－2＝2|a＋1|.

综上可知，g(a)＝a2－2　(a－2)，2|a＋1|　(a－2).