第14章 一次函数

14.1变量与函数(1)

教学目标

①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义.能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义.

②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力.

③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.

教学重点与难点

重点：函数概念的形成过程.

难点：正确理解函数的概念.

教学准备

每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子.

教学设计

提出问题:

1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶.行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：

t(小时) 1 2 3 4 5

s(千米)

2.已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?

3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?

注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评.

(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.

动手实验

1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,

观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：

悬挂重物的质量m(kg)

弹簧长度l(cm)

如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?

2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?

注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报.

通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息.

探究新知

(一)变量与常量的概念

1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程.其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量.

2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量.

3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量.

注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.

培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力.

(二)函数的概念

1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?

师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值.

2.分组讨论教科书P.7 “观察”中的两个问题.

注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.

3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120.

同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数；

在人口统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.

巩固新知

下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?

1.右图是北京某日温度变化图

2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面积为y= 4x

3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：

信件质量m/克 O20 2040 4060

邮资y/元 O.80 1.60 2.40

注:巩固变量与函数的概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,初步了解函数的三种表示方法.

总结归纳

1.常量与变量的概念；

2.函数的定义；

3.函数的三种表示方式.

注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构.

布置作业

1.必做题：教科书P.18 习题11.1第1题.

2.选做题：教科书P.18 习题11.1第2题.

3.备选题：

(1)下图是某电视台向观众描绘的一周之内日平均温度的变化情况：

①图象表示的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是函数?

②这周哪天的日平均温度最低?大约是多少度?哪天的日平均温度最高?大约是多少度?

③14、15、16日的日平均温度有什么关系?

④点A表示的是哪天的日平均温度?大约是多少度?

⑤说说这一周的日平均温度是怎样变化的.

(2)如右图所示,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8.

①梯形面积y与上底的长x之间的关系式是什么?并指出其中的变量和常量、自变量与函数.

②用表格表示当x从10变到20时(每次增加1),y的相应值.

③当x每增加1时,y如何变化?说说你的理由.

④当x=0时,y等于多少?此时它表示的是什么?

(3)研究表明,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：

施肥量(千克/公顷) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471

土豆产量(吨/公顷) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75

①上表反映的是哪两个变量之间的关系?指出其中的自变量和函数.

②当氮肥的施用量为101千克/公顷时,土豆的产量是多少?如果不施氮肥呢?

③根据表中的数据,你认为氮肥的施用量为多少比较适宜?说说你的理由.

④简单说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.

设计思想

变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学,是学生数学认识上的一大飞跃.因此,设计本课时应根据学生的认知基础,创设丰富的现实情境,使学生从中感知变量与函数的存在和意义,体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则,引导学生探究新知,引导学生在观察、分析后归纳,然后提出注意问题,帮助学生把握概念的本质特征,并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力.同时在引导学生探索变量之间的规律,抽象出函数概念的过程中,要注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到、现实生活中存在着多姿多采的数学问题,并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神,提高探索、研究和应用的能力,使学生真正成为数学学习的主人.