平谷区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)

一、选择题（本 题共32分，每小题4分）

下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的.

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则 的值是

A． B． C． D．

2．将抛物线 向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为

A． B． C． D．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 是

A． B． C． D．

4．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为

A．50° B．25° C．75° D．1 00°

5．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为

A． B． C． D．

6．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点 D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部

分的面积为

A．4 B．

C． D．

7．若关于 的二次函数 的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是

A． B． C． D．

8．如图反映的过程是：矩形 中，动点 从点 出发，依次沿对角线 、边 、边 运动至点 停止，设点 的运动路程为 ， ．则矩形 的周 长是

A．6 B．12 C．14 D．15

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．在函数 中，自变量 的取值范围是 ．

10．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．

11．请写出一条经过原点的抛物线解析式 ．

12．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s．当整点P从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P从原点出发2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为 个．当整点P从原点出发n秒时，可到达整点（x,y），则x、y和n的关系为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠ B=∠DAE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；

（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．

14．计算： ．

15．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路AD的距离，在A点测得 ， 在C点测得 ，又测得 米，求小岛B到公路AD的距离．

16．我区某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内

温度y(℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：

（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有 小时；

（2）求k的值；

（3）当x=16时，大棚内的温度约为 度．

17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．

连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD．

（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．

18．如图，抛物线经过点A、B、C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结AP、CP，

延长CP交AD于E，交BA的延长线于F．

（1）求证：∠DCP=∠DAP；

（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

20．如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AE=CE；

（2）若AD=4，AE= ，求DG的长．

21．如图，一次函数的图象与 轴、 轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点C．如果点A的坐标为 ，OA=2OB，点 B是AC的中点．

（1）求点C的坐标；

（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

22．阅读下面材料：

如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．

（1）当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=　 　；

（2）如图2，在△ABC中，点O是线段AD上一点（不与点A、D重合），且AD=nOD，连结BO、CO，求S△BOC：S△ABC的值（用含n的代数式表示）；

（3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A、 D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，补全图形并直接写出 的值．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数 ，令 ，可得 ，我们就说1是函数 的零点值，点 是函数 的零点．

已知二次函数 ．

（1）若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围；

（2）若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值；

（3）当k0时，在（2）的条件下，函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），将二次函数的图象在点A，B间的部分（含点A和点B）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将直线 向上平移 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象 有公共点时，求 的取值范围．

24．已知平面直角坐标系中两定点 、 ，抛物线 过点A，B，与y交于C点，点P（m，n）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；

（3）当∠PAB=∠ABC时，求点P的坐标．

25．（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

①∠AEB的度数为　 　；

②线段AD，BE之间的数量关系为　 　；

（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在正方形ABCD中，CD= ，若点P满足PD=1，且∠BPD=90 °，请求出点A到BP的距离．

平谷区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)参考答案及评分标准

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8

答 案 A B A D B C D C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9． ；10．5；11．答案不唯一，如： ；

12．（1,1）；… …………………………………………………………………………………1分

5； ………………………………………………………………………………………2分

x+y=n………………………………………………………………………………………4分

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．（1）证明：∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠CAB．……………………………………1分

∵∠B=∠DAE，

∴△ABC∽△DAE．…………………… ……………3分

（2）∴ ．………………………………………4分

∵AB=8，AD=6，AE=4，

∴ ．

∴ ．…………………………………………5分

14．解：

……………………………………………………………………………4分

………………………………………………………………………………………5分

15．解：过B作BE⊥AD于E

∵ ， ，

∴ ．……………………………………1分

∴ ．…………………………2分

∴BC = AC=50（米）．…………………………………3分

在Rt△BCE中， ．

∴ （米）． ………………………………………………………………………4分

答：小岛B到公路AD的距离是 米．………………………………… ………………5分

16．解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为 10 小时．………………1分

（2）∵点B(12，18)在双曲线 上， …………………………………………2分

∴18= ，

∴k=216. ………………………………………………………………………3分

（3）当x=16时， ，…………………………………………………4分

所以当x=16时，大棚内的温度约为 13.5 度．……………………………………5分

17．证明：(1)∵AB 为⊙O的直径，CD 是弦 ，且AB CD于E，

∴CE=ED， .………………………1分

∴ BCD= BAC.

∵OA=OC,

∴ OAC= OCA .

∴ ACO= BCD. …………………………2分

(2) ∵CE=ED=4，……………………………3分

方法一：在Rt BCE中， .

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BEC=90°.

∵∠B=∠B，

∴△CBE∽△ABC．………………………………………………………………4分

∴ ．

∴ .………………………………………………………………5分

方法二：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB EB=R-3

在Rt CEO中，由勾股定理可得

OC =OE +CE 即R = (R 3) +4

解得 R= ………………………………………………………………………4分

∴2R=2 = ………………………………………………………………5分

答：⊙O的直径为 ．

18．解：（1）由题意知 ， ，

设抛物线的解析式为 ．………………1分

把 代入，解得a=1．……………………………2分

∴ ．………………………3分

（2）∵对称轴x=1，

∴点D的坐标为 ．………………………………………………………………………4分

∴ ．…………………………………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=AD，∠CDP=∠ADP．

∵DP=DP，

∴△CDP≌△ADP．……………………………………………………………………………1分

∴∠DCP=∠DAP． ……………………………………………………………………………2分

（2）解：∵CD∥BA，

∴△CDP∽△FPB．

∴ ．……………………………………3分

∵CD=BA，

∴BA=AF．

∵PA⊥BF，

∴PB=PF．………………………………………………4分

∴∠PBA=∠PFA．

∴∠PCD=∠P DC．

∴PD =PC=PA．

∴BD=BP+PD．

∵ ，

∴ ．

在Rt△ABP中， ，

∵AB=2，

∴ ， ．

∴ ．…………………………………………………………………………………5分

20．（1）证明：连结CD，

∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切线.

又∵DE与⊙O相切，

∴ED=EC. ……………………………1分

∴∠1=∠3.

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°.

∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,

∴∠A=∠2.

∴ED=EA.

∴AE=CE. ………………………………………………………………………………………2分

（2）解：∵AE= ,

∴AC=2AE= ．

在Rt△ACD中， .…………………………………………………3分

∴

∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,

∴∠A=∠4.

∴

∴ …………………………………………………………………………………4分

∵DG⊥BC于点F，

∴DG=2DF= ．……………………………………………………………………………5分

21．解：⑴作CD⊥ 轴于D，

∴CD∥BO．

∵OA=2OB，

∴OB=2．

∴ ．………………………………………1分

∵ 点B是AC的中点，

∴O是AD的中点．………………………………2分

∴OD=OA=4，CD=2OB=4．

∴点C的坐 标为 ．………………………3分

⑵设反比例函数的解析式为 ，

∴ ．

∴所求反比例函数的解析式为 ．……………………………………………………4分

设一次函数为 ，

∵A（4,0），C ，

∴ 解得： ．

∴所求一次函数的解析式为 ．…………………………………………………5分

22．解：（1）S△ABD：S△ABC=　1：2　；………………………………………………………1分

（2）如图，作OM⊥BC于M，作AN⊥BC于N，

∴OM∥AN．

∴△OMD∽△AND．……………………………………2分

∴ ．

∵AD=nOD；

∴

∵ ，

∴ ．……………………………………………………………………3分

（3） …………………………………………………………………4分

． ………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解:（1）证明：

.……………………………………………………………………………………1分

∵二次函数有两个不重合的零点

∴ …………………………………………………………………………2分

∵

∴当 且 时，二次函数有两个不重合的零点． …………………………………3分

（2）解方程得： ,

∴ 或 ．…………………………………………………………………………4分

∵函数的两个零点都是整数， 是整数，

∴ 是整数．

∴ ． ……………………………………………………………………………………5分

（3）∵k0，

∴ ．

∴ ， ．

∵函数的两个零点分别是A， B（点A在点B的左侧），

∴ ， ．

∴平移后的点为 ， ．

平移后的解析式为 ．

∴ 解得 ，…………………………………………………… …6分

解得 ．

∴ ．……………………………………………………………………………………7分

24．解：（1）∵抛物线 过点A，B，

∴ ，解得： ，

∴抛物线的解析式为： .…………………………………………………1分

∴C ．……………………………………………………………………………………2分

（2）方法一：∵

∴∠ACO=∠OBC．

∴∠ACO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，

∴ ．…………………………………………………………………………………3分

由抛物线的对称性可知，

∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．…………………………………………5分

方法二：以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分，能是∠APB为钝角，

∴M（ ，0），⊙M的半径= ．

在Rt△OMP中，∴ ．

∴ ．……………………………………3分

以下同方法一.

(3)在Rt△OBC中， .

第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P .

∴∠PAB=∠ABC.

过P作PQ⊥AB于Q，

∴ .

∵P（m，n）,

∴P Q=n，AQ=m+1

∴ .

∴ .

解得

∴ ………………………………………………6分

第二种情况：

方法一：点P关于x轴的对称点的坐标为

∴直线AP″的解析式为

∴ 解得

∴ ……………………………………………………………………………………7分

方法二：假设∠P’AB=∠ABC，交抛物线于点P’ .

过P’作P’Q’⊥AB于Q’，

∴ .

∵P（m，n）,

∴P’Q’=﹣n，AQ’=m+1

∴ .

∴ .

解得

∴ ………………………………………7分

∴

25．解：（1）①60°．…………………………………………………………………………1分

②AD=BE．………………………………………………………………………… …………2分

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE． ……………………………………………………………………………3分

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．……………………………………………………………4分

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．……………………………………………………………………5分

（3）方法一：∵CD= ，

∴BD=2．

第一种情况：当点P在BD上方时

∵PD=1，∠BPD=90°

∴∠PBD=30°．

∴∠PBA=∠ PDA=15°．

在BP上截取BE=PD，

∴△ABE≌△ADP．

∴AE=AP，∠PAD=∠EAB

∵ ∠BAE+∠EAD=90°，

∴∠PAD +∠EAD=90°．

即∠EAP=90°．…………………………………6分

过A作AH⊥BP于H，

由（2）可知，BP=DP+2AH.

∴AH= .…………………………………7分

第二种情况：当点P在BD下方时

同理可得：BP’=2AH’﹣P’D．

∴AH= .…………………………………………………………………………………8分

方法二：∵PD=1，

∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD=90°，

∴点P在以BD为直径的圆上．

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，

过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．

∵四边形ABC D是正方形，

∴∠ADB=45 °，CD= ，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP= ．

∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．…………………………………………………………………6分

又∵△BAD是等腰直角三角形， AH⊥BP，

∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．

∴AH= ．…………………………………7分

②当点P在如图3②所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴AH= ．……………………………………8分

综上所述：点A到BP的距离为 或 ．

以上答案仅供参考，其它解法按相应步骤给分！