朝阳区2015九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．某种埃博拉病毒（EBV）长0.000 000 665nm左右．将0.000 000 665用科学记数法表示

应为

A．0. 665×10-6 B．6.65×10-7 C．6.65×10-8 D．0. 665×10-9

2．下列二次根式中，能与 合并的是

A． B． C． D．

3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是

A B C D

4．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，

若 ，AE=6，则EC的长为

A . 6 B. 9

C. 15 D. 18

5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个

白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.

大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是

A . 10 B. 14 C. 16 D. 40

甲 10 9 8 5 8

乙 8 8 7 9 8

6．某射击教练对甲、乙两个射击选手的5次成绩（单位：环）进行了统计，如下表

所示：

设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为 、 ，射击成绩的方差分别为 、 ，则

下列判断中正确的是

A． ＜ ， ＞ B． = ， ＜

C． = ， D． = ， ＞

7．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，

5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM

经过圆心O交⊙O于点E，若CD=6，则隧道的高（ME的

长）为

A．4 B．6

C．8 D．9

8．某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器

模拟水池蓄水情况：从某时刻开始，5分钟内只进水不出

水，在随后的10分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和

出水量是两个常数．容器内的蓄水量y（单位：L）与时间x

（单位：min）之间的关系如图所示，则第12分钟容器内的

蓄水量为

A. 22 B. 25

C. 27 D. 28

9. 如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将

矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若

此时 = ,则△AMD′ 的面积与△AMN的面积的比为

A．1:3 B．1:4

C．1:6 D．1: 9

10. 如图，矩形ABCD中，E为AD中点，点F为BC上的动点（不

与B、C重合）．连接EF，以EF为直径的圆分别交BE，CE

于点G、H. 设BF的长度为x，弦FG与FH的长度和为y，则

下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是

D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．若分式 的值为0，则x的值为 ．

12．分解因式： ? ．

13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．

14. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于 AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，若OA=2，则△ABC外接圆的面积为 ．

(第14题) (第15题)

15．如图，点B在线段AE上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即 可得到△ABC≌△ABD，那么这个条件可以是 (要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可 )．

16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平

行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，

AD⊥CE于点D.

求证：BE=CD．

18．计算： ．

19．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来.

20．已知 ，求 的值．

21．如图，一次函数 的图象与反比例函数

的图象交于A (-3，1)，B (1，n)两点.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）设直线AB与y轴交于点C,若点P在x轴上，使

BP=AC，请直 接写出点 的坐标．

22．列方程或方程组解应用题：

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．如图，点F在□ABCD的对角线AC上，过点F、 B分别作AB、

AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BE=5，AD=8， ，求AC的长.

24．某校为了更好的开展“学校特色体育教育”，从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生，组成了一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:

成绩 划记 频数 百分比

优秀 正正正 a 30%

良好 正正正正正正 30 b

合格 正 9 15%

不合格 3 5%

合计 60 60 100%

（说明：40---55分为不合格，55---70分为合格，70---85分为良好，85---100分为优秀）

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）表中的a = ，b= ；

（2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图；

（3）如果该校八年级共有150名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质

良好及以上的人数为 ．

25．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD是⊙O

的直径，PA∥BC，与DB的延长 线交于点P，连接AD．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若AB= ，BC=4 ，求AD的长．

26．阅读下面材料：

小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

AC=4，BD=6，∠AOB=30°，求四边形ABCD的面积．

小凯发现，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和使问题得到解决（如图2）．

请回答：（1）△ABD的面积为　 　（用含m的式子表示）．

（2）求四边形ABCD的面积．

参考小凯思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于

点O，AC=a，BD=b，∠AOB= （0°＜ ＜90°），则四边形

ABCD的面积为 （用含a、b、 的式子表示）．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27. 已知：关于 的一元二次方程 ．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为 ， （其中 ＞ ）．若 是关于 的函数，且

，求这个函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使 ，则自变量 的取值范围为 ．

28．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接

PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？

经过思考后，部分同学进行了如下的交流：

小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想:

PA2+PC2=PB2 .

小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法.

这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：

（1）如图2，点P在∠ABC的内部，

①PA=4，PC= ，PB= .

②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明.

（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.

29.如图，顶点为A（－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）若点P的坐标是（－6,3），求△OPN的面积；

（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，

请解答下面问题：

① 求证：∠PNM＝∠ONM；

② 若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合

条件的点P的坐标.

朝阳区2015九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及评分参考：

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B C B B A D D C A D

二、填空题 （本题共18分，每小题3分）

11. 3 12.

13. 2 14.

15. 答案不惟一，例如

16. 8或10（写出一个正确结果给1分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17. 证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠BEC=∠CDA＝90°. ………………………1分

∴∠EBC＋∠ECB＝90°.

又∵∠DCA＋∠ECB＝90°，

∴∠EBC=∠DCA. ………………………………2分

又∵BC=AC，……………………………………3分

∴△BEC≌△CDA. ………………………………………………………………4分

∴BE＝CD. ………………………………………………………………………5分

18. 解：原式 ＝ . ………………………………………………………4分

＝ . ……………………………………………………………………5分

19. 解： .……………………………………………………………………1分

.……………………………………………………………………2分

. …………………………………………………………………………3分

解得 . ………………………………………………………………………4分

…………………………5分

20. 解：

＝ . ……………………………………………3分

＝

＝ .……………………………………………………………………………4分

∵ ，

∴原式＝ . ………………………………………………………………5分

21. 解：（1）把A (-3，1)代入，有 ，

解得 .

∴反比例函数的表达式为 . ……………………………………1分

当 时， .

∴B（1，－3）. …………………………………………………………2分

把A (-3，1)，B（1，－3）代入 ，有

，

解得 .

∴一次函数的表达式为 . ……………………………………3分

（2）（4，0）或（－2，0）. ……………………………………………………5分

22. 解：设小白家这两年用水的年平均下降率为x. …………………………………………1分

由题意，得 . ………………………………………2分

解得 ， . ……………………………………………3分

∵ 不符合题意，舍去. ………………………………………………4分

∴

答：小白家这两年用水的年平均下降率为 ………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23.（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵∠ABF=∠ FBC＋∠FCB，∠AFB=∠FBC＋∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB． …………………………………………………………………1分

∴AB＝AF.

∴□ABEF是菱形． ………………………………………………………………2分

（2）解：作DH⊥AC于点H，

∵ ，

∴ .

∵BE∥AC，

∴ .

∵AD∥BC，

∴ .

∴ .

Rt△ADH中，

.………………………………………………3分

.

∵四边形ABEF是菱形，

∴CD= AB=BE=5，

Rt△CDH中，

. ………………………………………………4分

∴ .…………………………………… ……5分

24.（1）18，50%. …………………………………………………………………………2分

（2）

…………………………………………4分

（3）120. ………………………………………………………………………………5分

25.（1）证明：连接OA交BC于点E，

由AB=AC可得OA⊥BC ．………………………1分

∵PA∥BC，

∴∠PAO=∠BEO=90°.

∵OA为⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线. …………………………… 2分

（2）解：根据（1）可得CE= BC=2．

Rt△ACE中， . ………………………………3分

∴tanC= ．

∵BD是直径，

∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分

又∵∠D =∠C，

∴AD= .………………………………………………………5分

26. 解：（1） ；……………………………………………………………………………1分

（2）由题意可知∠AEO=90°．

∵ AO= m ，∠AOB=30°，

∴AE= ．

∴S△ABD= ．

同理，CF= ．

∴S△BCD= ．…………………………………………………2分

∴S四边形ABCD= S△ABD＋S△BCD ．…………………………………………………3分

解决问题： ．………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27. （1）证明： 是关于 的一元二次方程，

1分

=4．

即 ．

方程有两个不相等的实数根． 2分

（2） 解：由求根公式，得 ．

∴ 或 ． 3分

， ＞ ，

， ． 4分

．

即 为所求．………………………………………………………5分

（3）0＜ ≤ ． …………………………………………………………………………7分

28. （1）① ；……………………………………………………………………………1分

② . …………………………………………………………2分

证明：作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，连接P′C、P′P. ……………3分

∴∠1＝∠2.

∵AB＝CB，

∴△ABP≌△CBP′. …………………………4分

∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′.

在四边形ABCP中，

∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°，

∴∠A＋∠BCP＝270°.

∴∠BCP′＋∠BCP＝270°.

∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°. ……………………………………5分

∵△PBP′是等边三角形.

∴PP′＝PB.

在Rt△PCP′中， .……………………………………………6分

∴ .

（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：

如图，当点P在CB的延长线上时，

结论为 .

（说明：答案不惟一）

……………………………………………………………………………………………7分

29.（1）解：设二次函数的表达式为 ，

把点（0,0）代入表达式，解得 . ………………………………………1分

∴二次函数的表达式为 ，

即 . ……………………………………………………………2分

（2）解：设直线OP为 ，

将P（－6,3）代入 ，解得 ，

∴ .

当 时， .

∴M（－4,2）. ……………………………………………………………………3分

∵点M、N关于点A对称，

∴N（－4,6）.

∴MN＝4.

∴ . ……………………………………………………4分

（3）①证明：设点P的坐标为 ，

其中 ，

设直线OP为 ，

将P 代入 ，解得 .

∴ .

当 时， .

∴M（－4, ）.

∴AN＝AM＝ ＝ .

设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，

则B（－ 4,0），C .

∴OB＝4，NB＝ ＝ ，PC＝ ，

NC＝ ＝ .

则 ， .

∴ .

又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，

∴△NCP∽△NBO.

∴∠PNM＝∠ONM. …………………………………………………………………6分

② （ ）. ………………………………………………………………8分

其他正确解法，请参考标准给分.