教学设计示例

运用公式法――完全平方公式(1)

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法;

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.

4.通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax4-ax2 (2)16m4-n4.

解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1)

(2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2

=(4m2+n2)(4m2-n2)

=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x2+6x+9;　(2)x2+xy+y2;

(3)25x4-10x2+1;　(4)16a2+1.

答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x2+6x+9=(x+3) .

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

25x -10x +1=(5x-1) .

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1 把25x4+10x2+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

例2把1- m+ 分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“- m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法1 1- m+ =1-2·1· +( )2=(1- )2.

解法2 先提出 ，则

1- m+ = (16-8m+m2)

= (42-2·4·m+m2)

= (4-m)2.

三、课堂练习(投影)

1.填空：

(1)x2-10x+()2=()2;

(2)9x2+()+4y2=()2;

(3)1-()+m2/9=()2.

2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子?如果不是，请把多

项式改变为完全平方式.

(1)x2-2x+4;(2)9x2+4x+1;(3)a2-4ab+4b2;

(4)9m2+12m+4;　(5)1-a+a2/4.

3.把下列各式分解因式：

(1)a2-24a+144;(2)4a2b2+4ab+1;

(3)19x2+2xy+9y2;　(4)14a2-ab+b2.

答案：

1.(1)25，(x-5) 2;(2)12xy，(3x+2y) 2;(3)2m/3，(1-m3)2.

2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“-2x”改为“-4x”，原式就变为x2-4x+4，它是完全平方式;或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2-2x+1，它是完全平方式.

(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.

(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a-2b)2.

(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

(5)是完全平方式，1-a+a2/4=(1-a2)2.

3.(1)(a-12) 2;(2)(2ab+1) 2;

(3)(13x+3y) 2;(4)(12a-b)2.

四、小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2;如果是负号，则用公式a2-2ab+b2=(a-b) 2.

五、作业

把下列各式分解因式：

1.(1)a2+8a+16;(2)1-4t+4t2;

(3)m2-14m+49;　 (4)y2+y+1/4.

2.(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;

(3)4p2-20pq+25q2;　 (4)16-8xy+x2y2;

(5)a2b2-4ab+4;　 (6)25a4-40a2b2+16b4.

3.(1)m2n-2mn+1;　 (2)7am+1-14am+7am-1;

4.(1) x -4x; (2)a5+a4+ a3.

答案：

1.(1)(a+4)2;　(2)(1-2t)2;

(3)(m-7) 2;　(4)(y+12)2.

2.(1)(5m-8) 2; (2)(2a+9) 2;

(3)(2p-5q) 2;(4)(4-xy) 2;

(5)(ab-2) 2; (6)(5a2-4b2) 2.