2016-10-25 收藏
教学设计
提公因式法(一)
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
3.通过学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析和创新能力,深化学生逆向思维能力.
教学重点及难点
教学重点:
因式分解的概念及提公因式法.
教学难点:
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系.
教学过程设计:
一、复习提问
乘法对加法的分配律.
二、新课
1.新课引入:用类比的方法引入课题.
在学习分数时,我们常常要进行约分与通分,因此常常要把一个数分解因数(即分解约数).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.
在第七章我们学习了整式的乘法,几个整式相乘可以化成一个多项式,那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢?这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.
2.因式分解的概念:
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子,并计算出其结果.(老师按学生所说在黑板写出几个.)
如:m(a+b+c)=ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.
再请学生观察它们有什么共同的特点?
特点:左边,整式×整式;右边,是多项式.
可见,整式乘以整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.
定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).
整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别.
联系:同样是由几个相同的整式组成的等式.
区别:这几个相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.
例1 下列各式从左到右哪些是因式分解?(投影)
(1)x2-x=x(x-1) (√)
(2)a(a-b)=a2-ab (×)
(3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)
(5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法.
3.提公因式法:
我们看多项式:ma+mb+mc
请学生指出它的特点:各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
注意:公因式是各项都含有的公共的因式.
又如:a是多项式a2-a各项的公因式.
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式.
根据乘法的分配律,可得
m(a+b+c)=ma+mb+mc,
逆变形,便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc=m(a+b+c).
这说明,多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面,将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
显然,由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察上面的公因式的特点,找出确定公因式的万法:(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数:(2)字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式:
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-6mx2 (3mx)
(3)4a2+10ah (2a)
(4)x2y+xy2 (xy)
(5)12xyz-9x2y2 (3xy)
例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.
分析:分两步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2.
解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).
说明:
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取.
(2)开始讲提公因式法时,最好把公因式单独写出.①以显提醒;③强调提公因式;③强调因式分解.
例4 把3x2-6xy+x 分解因式.
分析:先引导学生找出公因式x,强调多项式中x=x·1.
解:3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
=x(3x-6y+1).
说明:当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,这类题常常有些学生犯下面的错误,3x2-6xy+x=x(3x-6y),这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因.还应提醒学生注意:提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样,这样可以检查是否漏项.
课堂练习:(投影)
把下列各式分解因式:
(l)2πR+2πr;
(2)
(3)3x3+6x2;
(4)21a2+7a;
(5)15a2+25ab2;
(6)x2y+xy2-xy.
例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.
分析:此多项式第一项的系数是负数,与前面两例不同,应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了,所以应先提负号转化,然后再提公因式,提-号时,注意添括号法则.
解:-4m3+16m2-26m
=-(4m3-16m2+26m)
=-2m(2m2-8m+13).
说明:通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时,应先观察第一项系数的正负,负号时,运用添括号法则提出负号,此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式.
课堂练习:(投影)
把下列各式分解因式:
(1)-15ax-20a;
(2)-25x8+125x16;
(3)-a3b2+a2b3;
(4)-x3y3-x2y2-xy;
(5)-3ma3+6ma2-12ma;
(6)
(三)小结
1.因式分解的意义及其概念.
2.因式分解与整式乘法的联系与区别.
3.公因式及提公因式法.
4.提公因式法因式分解中应注意的问题.
六、作业
教材 P.10中 1、2、3、4.
七、板书设计
2014年三上第四单元减法(1)课件
苏教版三上除法的验算课件
2015年三下第一单元节约课件
苏教版三上首位不能整除课件
2014新苏教版三上连续进位乘法课件
2014年三上第八单元几分之一课件
2014年三上第五单元倍的认识课件
北师大三上周长逆思考课件
2015年三年级下册第二单元商末尾有0课件
2014年三上第六单元两位数乘一位数笔算(不进位)课件
2014年三上第七单元周长课件
2014新苏教版三上口算两三位数除以一位数课件
2014年三上第五单元一个数的几倍是多少课件
2014年新版三上万以内的加法和减法复习课件
2014年三上第五单元一个数是另一个数的几倍课件
2014三年级上册第八单元认识几分之一公开课课件
2014年三上第六单元两位数乘一位数(不进位)课件
2015年三年级下册第二单元商中间有0课件
2014年三上第六单元去奶奶家课件
2014年三上第八单元同分母分数加、减法课件
2014年三上第三单元测量解决问题(例6)课件
三年级数学测量复习课件
苏教版三上除数是两位数的笔算除法课件
2015年三年级下册第一单元认识方向(主题图、例1)课件
2014新苏教版三上不进位乘法课件
2014年三上第六单元去游乐园课件
2014年三年级数学上册练习二十二课件
2015年三年级下册第一单元认识方向(例3)课件
2014年三上第六单元乘火车课件
2014年三上第八单元几分之一大小比较课件
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