2017年高考数学一轮复习备考方法已经新鲜出炉，查字典数学网请考生及时学习，提高成绩。

(一)数形结合，借尸还魂

【题1】(2009.辽宁卷12题)若 满足2x+ =5, 满足2x+2 (x-1)=5, + =( )

(A) (B)3 (C) (D)4

【分析】本题有“数”无“形”，仅靠枯燥的数字分析或推理，试图分别求出x1与x2，再求它们的和是不可能的..唯一的出路是“借尸还魂”，到图中去寻找答案.

【解析】.将条件式改写为 及 .

令 .

如图，曲线 关于直线 对称.设直线 分别与曲线

及直线 交于 ，则点A,B亦关于

点M对称..由 ，故选C.

(二)调虎离山 命题转换

【题2】(2010.四月.湖北孝感理科.14题)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1，再染2个偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第2010个数是

【分析】按题示规则,对全体正整数操作如下：

○1○23○4○56○78○9○1011○1213○1415○16○1718○1920○2122○2324○25○2627○2829○3031○3233○3435○36○3738…

如果仅就现在的排列方法,很难找出规律.于是想到:何不将那些“染红”了的数调出来,用适当的方式重新排列呢?

【解析】在以上各数中，我们将所有打了圈的数称为“合格数”，

并将所有“合格数”按奇,偶相间的原则列成三角形数表如图2：立即

发现其排列规律是：

1.第n行的最后1个数字是 ;

2.前n行共有 个“合格数”数.

题目已经暗示：2010一定是“合格数”,设2010位于这张表的

第n行,那么： ,即

∵ ,故满足(1)式的

最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第 个,其值为 ,这是个奇数.

据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数”是3969-2×6=3957.

(三)抽丝剥茧,水落石出

【题3】(2010四月.湖北黄冈等6市.10题)已知数列 满足：

且 ,则图3中第5行所有数的和是( )

A.62 B.64 C.32 D.34

【分析】求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由

递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究.

如果不作,这道题很难.

【解析】第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,

且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数.

由

第二步,由以上结果及 ,知 是首项 且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是： .

第三步,我们发现 虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项：

已知 ∴这个数列的通项公式为 (n=1也适合)

于是“水落石出”,图5中第5行所有数的和是：

故选A.

(四)瞒天过海 暗云飞渡

【题4】(武汉二月调考.15题)已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点，若∠PFA=λ∠FAP,则λ的值为

【分析】无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段”地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最便于计算的特殊位置解之.

【解析】如图4，取图形的特殊位置,使PF⊥AF.

由条件知有A(-a,0),F(2a,0).在双曲线方程中令x=2a,有：

.得P(2a,3a).

在直角三角形AFP中， ∴∠PAF=45°，而

∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.

【说明】(1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置

有所限制，这意味着λ的取值与点P的具体位置无关，也就是

λ是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.

(2)本题源于如下轨迹题：已知定点A(-a,0),F(2a,0).

一动点p(x,y)满足∠PFA=2∠PAF,求点P的轨迹.

【解析】如图4——2，设∠PAF=α，则∠PFA=2α.

.由正切的二倍角公式：

所求轨迹为双曲线的右支(不含右顶点).

(五)他山之石 可以攻玉

【题5】(2010.武汉二月调考.10题). 过定点P(3,1)的直线 交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为( )

A.8 B.10 C.12 D.

【分析1】本题是名副其实的“不小的小题”，不能用特殊值法解决，从形式上看，由于题中有坐标系为背景，是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做，却何其难也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，却是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”

【解析1】如图1，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2,ON=1.

设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.

于是△OAB的周长

于是 ，故选B.

【说明】进一步研究：当且仅当 ，即 时等式成立.此时 .于是 ，满足OA+AB+OB=10.

【分析2】在华中师大数学通讯网站上，一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法，现介绍如下：

【解析2】首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.

如图2，设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a)

作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M，QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.

连PQ,则 .令 即

(舍)，或 .于是所求△OAB的最小值为L=2a=10.

本题还可以用导数法求解,这里从略.

(六)避实击虚 反客为主

【题6】(2007.北京海淀区高三数学期中试题8)：已知函数

.若实数 使得 有实根，则 的最小值为( )

(A) (B) (C)1 (D)2

【分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.

【解解析】将 改写为： .

令

在直角坐标系aOb中，设 为直线(1)上一点，则 .

又设原点到直线(1)的距离为 ，那么

再令 上增，故

.也就是 的最小值为 ，选(A)

(七)擒贼擒王 解题寻根

【题7】(2005.湖北卷.6题)：在 这四个函数中，

当 恒成立的函数的个数是( )

A，0 B，1 C，2 D，3

【分析】虽然是一道小题，可就是这一道不起眼的小题，那一届却难倒了一大批考生.即使是考后，有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数，如果逐一探究，哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思：擒贼擒王，解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢?

原来除直线函数外，无论什么函数的图像都是曲线，而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式，这就是本题的“根”.

【解析】解本题应先掌握凸，凹函数的性质，

如图6—1，曲线 在弦AB的上方，我们

称它是上凸的函 数，在曲线上任取两点

A，B，作

有

交 于C，AB于M，

那么

，如图 6—2，曲线 在弦AB的下方，我们称它是下凹的函 数，同理，由 ，又说明下凹函数有性质：

以上结论与曲线所在象限无关，这是因为曲线经过平移后，不影响它们的数量关系.

题中的四个函数， 所以在(0，1)内，式子 不是恒成立。又 是下凹的，只有 是上凸的，这就是说，在(0，1)内，使式子

恒成立的函数只有一个。∴选B。(参看图7，1—4)

。

后记：无独有偶，今年的北京卷也有类似的试题：对于函数 ，有如下结论：① ② ③ ④

当 时，上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是②③，它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. ，

(八)惜墨如金 小题小作

【题8】(2005.全国2卷.12题)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为( )

A B C D

【说明】对于这一题，笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂，原文如下：

【解析】正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O1到

另三个小球球心所在平面O2O3O4的距离(如图7--1)。

O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= ∴OO1=

然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面体的顶点A的距离AO1，(如图7--2)

设AB=x 则BO，= ∴O’A= ∴O1A= -1=O1B

∵AO，⊥O，B ∴O1B2=O，O12+O，B2 ∴( -1)2=12+

∵ - +1=1+ ∴ - =0 ∵x≠O ∴x=

∴O，A= × =4 ∴O1A=3

由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ，∴正四面体的高

就本题而言，以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里，花这么

大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.

【解1】为求正四面体的高的最小值，只须解决三个问题：

其一，这4个钢球两两外切，其球心也连成一个正四面体，因为其棱长为2，所以它的高为2• = ;

其二，这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1(等于球的半径);

其三，这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3(等于球的半径的3倍)，因此 ，这个正四面体的高

的最小值为 ，∴选C。

【解2】我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球心正四面体”.

“球心正四面体”与“容器正四面体”是同“中心”的相似体，相似中心就是这个共同的“中心”.

既然这个公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面体的高线，那么，还是这个公共的中心应以1∶3

的比例分割容器正四面体的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径，那么，对应

的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个

小球半径.因而?C 是最合理的答案.

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