2013-07-04
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编者小语:奥数强调数学知识的应用,注重培养学生分析问题、解决问题的能力。下面是查字典数学网小编整理的五年级奥数题及参考答案:分数的演绎与传奇。一分耕耘一分收获,相信大家通过自己的努力,一定能够取得优异的成绩!!
在一种简化的飞镖靶盘上只有两个区域(见图):
内圈11分,外圈4分。
比赛的人轮流投掷飞镖,并累积计算各人的总分,先达到预定分数的人赢。
当凯蒂和海伦在玩这个游戏时,她们发现不论怎么玩就是无法达到某些分数,如21分。于是她们坐下来,拿出纸和笔,研究到底有哪些分数是无法达到的。结果她们发现,只要超过某个分数之后,任何分数都可以达到。因此她们约定将来再玩时,所设定的目标分数一定要够大才行。
请找出无法达到的总分。
如果改变内圈与外圈的分数,对于目标分数的形式会有何影响?
如果内圈是m分,外圈是n分,你能找出计算无法达到的最大总分是多少的公式吗?
答案与分析:
在11分以内,只有4的倍数可能达到。11和12当然也可能。如果13是可能的,它必须等于先前可能达到的分数加4或加11,但是13-4=9,13-11=2,9和2都是不可能的,因此13分也是不可能的。同理,14是不可能的,但15是可能的,因为15-4=11。继续依同样的方式推算,可以证明29是不可能达到的,但之后的
30=2× (11)+2×④
31= +5×④
32= 8×④
33=3×)
有4个连续可能达到的分数,因此之后的4个连续分数也必定是可能达到的,因为:
34=30+4 35=31+4 36=32+4
37=33+4
故以归纳法推论,任何大于29的分数都可以达到。
不可能达到的分数如下:
1,2,3,5,6,7,9,10,13,14,17,18,
21,22,25,29
一般来说,要是m与n除了1以外没有公因数,则不可能达到的最大分数是
mn-m-n
然而,如果m与n有一个公因数d,那么就只有d的倍数才可能达到,因此无法找到一个最大的不可达到的目标分数。证明上面的公式已超出本书的范围,但是以下述的方式分析题目中的例子,也可以使我们了解为什么这个结果可能是对的。
先只考虑4,所有4的倍数都是可达到的。接着要证明的就是加上11的倍数,并超过某一数目之后,任何分数都是可达到的。
由于
11=2×4+3
22=5×4+2
33=8×4+1
故11的前三个倍数与4的倍数分别相差3、2、1,因此可以把它们写成如下的形式:
4n+3 4n+2 4n+1
所以33以上的所有分数都是可能达到的。略加思考之后,我们又知道不可能达到的最大分数应该比33少4,它的形式应该是
(4-1)×11-4
如以通式表示,则:
(n-1)m-n=nm-m-n
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