根据数学教学大纲对培养学生能力的要求，概括为以下几点：

整数、小数、分数的四则计算，是学习数学的基础。培养学生的计算能力是小学数学教学中的一项重要任务。学生没有计算能力，就谈不上学习数学。

纲要上明确指出，使学生能够正确地、迅速地进行整数、小数、分数的四则计算。要做到正确，就要掌握正确、合理的计算方法及基本的计算基础。要做到迅速，一是熟练，二是灵活。正确、合理、迅速、灵活是对小学生计算能力的全面要求。

例如：计算6+6+6+4+6，学生有几种不同的计算方法：

（1）6+6+6+4+6 （2）6+6+6+4+6

＝12+6+4+6 ＝6×4+4

=18+4+6 =24+4

＝22+6 ＝28

=28

（3）6+6+6+4+6

＝6×5-2

＝30-2

=28

三种做法都达到了正确的目的，但从计算的过程可以明显看出，第二、三种方法比第一种方法快，反映学生注意观察题目的特点，灵活的运用所学知识的能力。

又如：计算275×4

③275×4 ④275×4

＝（250+25）×4 =（300－25）×4

＝1100 ＝1100

⑤275×4

=11×（25×4）

=1100

同样可以看出，采用后三种方法计算的学生，不仅正确计算出结果，而且思维灵活、能力强、计算迅速。

通过以上两个例子，可以看出，培养学生正确、迅速的计算能力，对学生智力发展的促进作用。因此在教学过程中，我们不能只注意计算的结果，还要注意计算的过程。数学的计算过程，也是思维训练的过程，可以促进学生观察力、注意力、记忆力、想象力和思维力的发展。因此，在计算过程中，要有意识地启发学生进行思考。同时，要指导学生能采用巧妙灵活的方法进行计算。

另外，在培养学生计算能力方面，还要重视培养学生养成估算和验算的良好习惯。

培养学生的逻辑思维能力是相当重要的，因为只有注意培养和发展学生的逻辑思维能力，才能使学生变得更聪明，容易接受和掌握新知识，善于研究和探讨新问题，提高分析问题和解决问题的能力。

逻辑思维能力，是认识能力的核心。它是确定的、前后一贯的，无矛盾的、有条有理、有根有据的思维。数学本身就是人类逻辑思维和辩证思维的结晶。数学教学最有利于发展与培养学生逻辑思维能力，学习数学的过程，就是发展人类思维的过程。培养学生的逻辑思维能力，就是培养学生进行比较、分析综合、抽象概括、判断推理的能力。

比较：是借以认出对象和现象异同的一种逻辑方法，它是认识的基础，通过比较可以对一些联系紧密而又容易混淆的概念，如等分与包含、整除与除尽、比和比例、成正比例的量与成反比例的量、不成比例的量等等，找出它们之间的联系和区别，以加深对概念的理解和掌握，并通过对许多有关概念进行比较、分析、对比、归类等，形成概念系统。

分析综合：把一个对象分解成几个部分叫分析，而把几个部分综合成一个整体叫综合。分析和综合是不可分割的。解应用题用得最多。数的分解与组成，就是分析和综合的过程。如：

解应用题是个复杂的分析综合的过程。

例如：供销社运来桃子3750斤，卖出135筐后，还剩375斤，原来共运来桃子多少筐？

将整道题分解为三个简单应用题。而三道简单应用题，综合为一道三步运算的一般应用题。

抽象概括：抽象就是抽出一些事物的本质属性，而概括就是把同一类事物的相同属性结合起来。在数学中，抽象和概括的使用是很多的。每个数字、每个规律都是抽象概括出来的。抽象概括要有一定的感性认识为基础。

例如：认识数字“5”——基数概念的形成。

通过实物、图片、计数器、集合图这些不连续量，让儿童自己操作或演示学具和实物，再用连续量量出5杯水、量出5米绳子等，建立感性认识，然后抛弃这些实物抽取出“5”这个基数的概念。

判断推理：判断就是对某一事物的性质和现象做出肯定或否定。数学上所有的法则、定义、公式、结论都是判断。

判断的要求：一要正确、二要敏捷。判断不一定用语言，符号也是判断的形式、“＝”、“＞”、“＜”、“≈”等。如：2+3○4、24+3○8等。

由几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式叫推理。推理的方法，一是归纳、二是演绎、三是类比。归纳是从个别到一般的推理，而演绎则是从一般到个别的推理，类比则是从个别到个别的推理。

我们小学用的大量是归纳推理的方法。如加法交换律的建立，就是通过无数个个别的事例：2+5＝5+2、17+6＝6+17、100+86＝86+100……从而推出一般规律：a+b＝b+a。归纳离不开观察，容易被小学生掌握。演绎法比较严谨，一般适合高年级。演绎的基本形式是三段论：大前题、小前题、结论。如：判断36是不是偶数。

大前题：能被2整除的数是偶数。

小前题：36能被2整除。

结论：36是偶数。

又如：判断50∶10、15∶3能否成比例。

大前题：两个比相等就能组成比例。

小前题：50∶10＝5、15∶3＝5，两个比相等。

结 论：50∶10＝15∶3能够成比例。

归纳和演绎也是密不可分的，没有归纳演绎不可能，只有归纳没有演绎，归纳没有价值。

类比是利用不同事物间某些相似处进行推理。如根据比和分数、除法的关系，推出“比的性质”。这种推理方法可以帮助学生由旧知识探求新知识，起着启发思考的作用。

以上所谈到的逻辑思维方法，在实际思维过程中是密切相联、相互补充，不能截然分开的。在教学过程中，学生逻辑思维能力的培养是紧紧地结合在数学基础知识的学习中进行的，逻辑思维发展了，更有助于掌握数学的基础知识和技能。这两者之间的关系是辩证的，相辅相成的。因此，我们必须有意识地通过数学教学，培养与发展学生的逻辑思维能力。

逻辑思维能力的培养，包括训练学生用数学语言回答问题。语言是思维的工具，我们要求学生用精确、简练、清晰的数学语言来表达一切定义、法则等。并要注意培养学生的观察力。通过熟记口诀、公式等，培养学生的记忆力。

恩格斯说：“数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。”数和形反映了客观事物的两个不同方面，它们都是数学研究的对象，数和形不是各自孤立的，而是紧密联系着的。人们接触客观事物，往往同时接触到数和形。利用数可以更好地反映形的本质特征，反过来，利用形有助于加深对数的认识。因此，从小学起就要重视发展学生的空间观念。

空间观念主要是指区别对象的大小、形状、立体和远近。具体讲，就是我们与物体、物体与物体之间的方向、大小、距离和形状在人们知觉中的反映。

小学生空间观念的建立，主要通过几何初步知识的学习。在小学数学中，几何初步知识包括：线（直线、射线、线段、平行线、垂直线）

角（锐角、直角、钝角、平角、周角）

面（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形、扇形）

体（长方体、正方体、圆柱体、圆锥体）

通过学习，使学生形成基本的、正确的观念。熟悉基本的几何图形，正确理解图形的基本原素之间的度量及位置关系。正确掌握各种图形的概念，学会有关周长、面积、体积的计算。这些知识的获得，主要通过联系学生的实际生活观察思考与学生的实际操作。反复不断的经验积累，逐渐形成学生的空间观念。

发展学生的空间观念，对学生进行想象和思维也具有重要的意义。在各种图形面积的转换练习中，可以加深学生对各种形体间关系的认识，从而启发学生采用多种不同的方法，推导出面积的计算公式。在这拼摆与推导的过程中发展了学生的思维，增强了学生的想象力。

例如：求梯形面积的公式：

教材上列举的方法是如图1：

学生所找出的方法是多种多样的。例图2——图7：