2016-07-01
收藏
导读:本文将高数中的洛必达法则推广到复变函数中来,给出复变函数中与高数中洛必达法则类同的法则.并且利用给出的洛必达法则更方便的求解复变函数的某些类型极限以及判定解析函数孤立奇点的类型. 关键词:洛必达法则,孤立奇点的类型 一、给出法则 复变函数中的一些概念和结论是实函数中相应概念
的推广,复变函数中关于复函数的极限,连续,可导,关于复级数,复积分等概念和一些重要结论都是高数中关于实函数的相应概念和结论从实数域到复数域的推广.众所周知,对实变函数中“未定式”的分析可以利用洛必达法则,那么对复变函数中的“未定式”是否有相应的洛必达法则?答案是肯定的.)
一元实函数的极限或只要求沿轴趋于或,而复变函数的极限或要求在复平面上按任意方式趋于 或 ,这是实函数极限与复变函数极限的本质区别.但在复变函数中,在区域上可导,也就是在上解析,而解析函数有很好的性质,这对于研究复变函数“未定式”有很大的方便.在此,我们将复变函数中的洛必达法则归结如下:
1. 型
(1)定理1:设复变函数在 的去心邻域: 内定义可导(即解析),且极限存在,则.
(2)定理2:设复变函数在无穷远点的去心邻域: 内可导(即解析),且,且极限存在,则 .
2. 型
(1)定理3:设复函数在 的去心邻域内内解析,且 ,且极限存在,则 .
(2)定理4:设复函数在无穷远点的去心邻域:内解析,且,且极限存在,则 .
3.其它不定式
形如型的未定式,可以通过将它们化为或型来计算.
二.法则应用
1.高数中的洛必达法则,在求函数极限时发挥重要作用.而在复变函数中洛必达法则在复函数极限的计算中发挥重要作用,使一些不太容易解决的问题在应用了这个法则之后变得容易解决.
例1 求
解:原式=
例2 求
解:原式=
例3 求
解:原式=
(型)=
[论文网 www.uuubuy.com] (型)=
例4 求
解:原式=
注:洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限工具.当条件满足时,所求极限存在(或为),但当条件不满足时,不应当使用这一工具,但这并不等价于极限不存在,所以在使用洛必达法则时,必须每步检查一下是否为型或型的未定式,以避免解题错误.
2. 复变函数的洛必达法则在判定解解析函数孤立奇点类型方面的应用
一般复变函数论的教材均指出:是的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:有限复常数, 和不存在.所以,若已知是的孤立奇点,则此孤立奇点的类型与有关.(无穷远点亦可类似讨论)因此,我们可以在求时应用此法则,使问题简化.
例1 判定函数孤立奇点的类型
解:是的孤立奇点,应用复变函数中的洛必达法则有:
因为是有限复常数,根据可去奇点的充分必要条件知:是的可去奇点.
例2 判定函数的孤立奇点的类型
解:为函数的孤立奇点.应用复变函数中的洛必达法则有:
所以根据极点的充分必要条件知:为的极点.
例3 判定函数的孤立奇点的类型
解:为的孤立奇点.
因为
而 不存在
所以为的可去奇点,为的本性奇点.
注:在运用复变函数的洛必达法则进行孤立奇点类型判定时,可遵循以下四个步骤:
(1)找出给定解析函数的孤立奇点.
(2)对各孤立奇点求极限,考察是否为型或型.
(3)若是,可套用洛必达法则求极限,若是其他类型,可变形为型或型.
(4)根据所求极限的结果判定孤立奇点的类型.
参考文献
[1]华东师范大学数学分析高等教育出版社2001年6月
[2]钟玉泉复变函数论高等教育出版社2002年5月
[3]于慎根复变函数南开大学出版社1991年5月
[4]陆庆乐复变函数学习方法指导书高等教育出版社1982年10月
[5]谢力之刘中兴复变函数奇点电子工业出版社1988年5月
小学生数学日记:攻克难题
六年级数学知识点:简易方程
六年级数学知识点:常用单位换算
2016年六年级下册数学乘除运算同步练习题
四年级数学知识点归纳:求近似数
西师大版一年级下册数学认识钟表随堂检测题
三年级数学长方形正方形的周长练习题:下学期
2016年一年级数学常用公式之算术定义定理
小学六年级数学图形计算公式知识点
北师大版二年级下册数学小小图书馆教学计划模板
小学四年级数学知识点:乘法分配律
二年级数学1000以内数的认识练习题:第二学期
精选四年级下学期数学解方程练习题:2016年
2016年五年级数学下册第六单元分数加减法测试题(新人教版)
2016学年小学数学智力题:鸡蛋问题
小学生经典数学故事:动物会认识数字吗?
六年级数学圆柱的体积课后训练题:第二学期
小学生数学故事之曹冲称象的故事
2016学年三年级下册数学周长课后练习题
人教版二年级下册数学同步检测题:10000以内数的认识
小学一年级数学认识钟表教学计划:第二学期
六年级下册数学加减运算课后检测题:浙教版
2016学年二年级下册数学课后练习题:整百、整千数加减法
北师大版一年级下册数学加与减教学计划
人教版三年级下册数学年月日课后训练题
2016年小学数学文化之奇妙的圣经数
浙教版四年级数学认识方程课后训练题:下学期
校级论文:《小论小学数学教学与学生生活的融合》
小学二年级下册数学近似数随堂检测题
一年级奥数题及答案:猴子爬树
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |