中国古代数学的研究,目前存在着一些彼此对立的研究结论;正确地分析存在着的矛盾结论,无疑会有助于人们深入地了解中国古代数学,同时也会使人们对数学史研究的方法和评价标准有新的认识。

一、几个有代表性的矛盾结论

如何评价中国古代数学,如何评价在中国古代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的问题。但是目前的一些研究却有着一些矛盾的结论,这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。

1.关于古代数学运用的思维方式问题

中国古代数学是否象古希腊那样明确地运用逻辑思维问题,目前已成为评价中国古代数学的一个重要因素,因为在人们的认识和理解中,数学如果没有严格的逻辑思维形式,那就很难成为真正的数学理论,袁晓明先生的研究结论与人们的良好愿望相反,他认为中国古代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思维方式,“与古希腊数学严格地采用逻辑演绎的逻辑思维方式不同,中国数学则是以非逻辑思维为主,即主要通过直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发现方法、实现推理的。”[1]

郭书春先生通过对《九章算术》的研究,得出相反的结论,他认为《九章算术》的注释中已经具有并形成了演绎的逻辑方法及演绎的逻辑体系,“刘徽注中主要使用了演绎推理,他的论证主要是演绎论证即真正的数学证明,从而把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学。”[2]

巫寿康先生与郭书春先生的观点相同,他认为:“刘徽《九章算术注》中的每一个题,都可以分解成一些首尾相接的判断,如果仔细分析这些判断之间的联系,就会发现这些判断组成若干个推理,然后由这些推理再组成一个证明,因此可以说,《九章算术注》中的论证已经具备了证明的结构,就大多数注文来说,这其中的推理都是演绎推理,大多数证明也都是演绎证明。”[3]

中国古代数学到底“是以非逻辑思维为主”,还是“主要是演绎证明”,这是中国古代数学研究中一个矛盾的结论,还没有得到统一认识的问题。

2.关于中国古代数学理论构造的问题

按照西方数学的模式,一种数学着作若是按应用问题的类别编排,并且每一个题之后给出解法和答案,那么这个数学着作就是一个习题集的模式,也许正是由于这种客观原因,许多国外的学者都认为中国古代数学不存在什么理论构造,李约瑟先生就认为“从实践到纯知识领域的飞跃中,中国数学是未曾参与过的。”[4] 着名的数学家陈省身先生也有相同的看法,他认为“在中国几何中,我无法找到类似三角形内角和等于180°的推论,这是中国数学中没有的结果。因此, 得于国外数学的经验和有机会看中国数学的书,我觉得中国数学都偏应用,讲得过分一点,甚至可以说中国数学没有纯粹数学,都是应用数学。”[5]

中国的一些数学史学者对此持完全相反的观点,坚持强调中国古代数学理论构造的存在性。李继闵先生认为“中国传统数学具有自己独特的理论体系,它以理论的高度概括、精炼为特征,中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念,提炼出一般的数学原理,而从非常简单的基本原理出发解决重大的理论关键问题……中国传统数学理论,乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精巧的理论建筑物。”[6]

中国古代数学是否有一个理论意义上的构造体系,这大概是目前中外数学史专家们对中国古代数学研究中的一个最大的分歧点。如何正确地评价中国古代数学的体系构造已成为中国数学史研究中应当回答的理论问题之一。

3.关于珠算在中国数学史中的地位问题。

在中国数学史的研究中,人们一直认为宋元数学是中国古代数学的高峰。宋元之后的明代珠算无法与宋元数学的成就相比,明代珠算一般被认为是“民用”或“商用”数学。言外之意,珠算是不能登中国古代数学理论构造的大雅之堂。许多学者认为宋元数学的衰退、被人遗忘是很值得研究的理论问题,而明代珠算却没有什么值得在理论层面给予研究的意义。

笔者的观点与当前评价宋元数学和明代珠算的观点都相悖。笔者认为珠算是中国古代数学在宋元之后取得的又一里程碑式的成就,它是中国筹算在运演工具上的重大创新,是筹算运演发展的重大突破,是中国古代数学技艺型发展的必然结果。[7]

如何评价珠算在中国数学史中的地位,实际也带来了如何评价宋元数学的一系列问题,在这个问题上笔者也提出了与目前传统观点相悖的论点,即宋元数学的成就,是中国筹算在特定的社会动荡、传统儒家观念发生紊乱、仕大夫仕途无望的文化氛围中奇异性发展的结果,当社会是进入稳定发展、仕大夫按照儒家传统观念走向仕途时,宋元数学就必然会被整个民族文化所淡忘。[8]

对珠算与宋元数学的评价,实际上涉及了如何看待中国古代筹算体系的发展及其内在规律的问题,这一问题也是正确认识中国古代数学的一个理论性的问题。

二、数学史研究的方法论问题及评判的理论依据

从方法论的意义上来考察中国古代的数学史研究,可以发现实际上存在两个不同层次的研究状况,第一层次的研究是指对史料的收集、整理、考证。应当说这个层次的主要工作是在中国古代数学的范畴内对数学史实的发展及其流变进行分析认证。这一层次的分析考证应当确认史料的年代及其真伪,以及史实在中国数学发展中所处的地位。第二层次的研究,是对已确认的史料与世界数学史的比较评价。应当说这个层次的比较研究是在世界数学史的范畴内(实际上主要是中西数学发展的范畴内)进行比较研究,这一层次的主要工作是要确认中国古代数学已达到的理论层次。这一过程显然是把中国古代数学纳入到已有的理论框架中进行比较,进而要求表述中国古代数学在现有古代数学史理论框架内所处的地位、理论层次、构造性状况以及它对现有数学史理论的贡献。

在方法论意义上,这两个不同层次的工作不能混同,因为这两个层次的工作存在着研究的范畴差异、时间差异和评判依据准则的差异。[9]

所谓范畴差异,是指第一层次的研究是在中国文化的范畴内进行分析考证,而第二层次的研究主要是在中西文化的范畴内进行比较评断。第一层次研究此时要解决的是史料真伪状况及在中国文化中的发展状况,而第二层次的研究要回答的是,已经证实的中国史实材料与西方数学相比,与现代的数学理论相比,其结果如何。

所谓时间差异是指第一层次的研究是要把史料放在原有的历史时间内考证史料是什么,它的语言、背景、含意等等,第一层次运用的是历史时间序列。第二层次的比较研究是要把史料放在现代数学史的理论框架内来比较评判中国古代数学的史料达到的理论状态、在人类数学史中的地位等等。因此说,第二层次研究运用的是现代的时间序列。

所谓评判差异,是指第一层次的分析考证运用的是在历史演化发展时数学自身变化发展的评判尺度,即以中国古代数学的自身成就来评判某一特定历史阶段数学史实的意义。此时运用的是中国古代数学史的评判准则。例如,判定某个历史时期筹算的成就,运用的是筹算自身发展的规律来判定那个时期筹算达到的运演和理论的实际状况。当然,第二层次上的比较评判,运用的却是现代数学史研究的理论框架并以此分析评判中国古代数学某个史实所达到的标准。

值得指出的是,我们目前的一些比较评价,实际上都是在第二层次上进行的,但是作为第二层次研究所特有的方法论意义上的要求,却常常不被严格遵守,尤其是第二层次的比较评判中应当特别强调的理论评价准则在先的原则,往往不被重视。也就是说,如果我们要把某一个中国古代数学的史实与世界数学的理论形式相比较,就必须明确地认识到或论证出现有的数学成果构成的理论标准,并以此标准来判断中国古代数学的史料是否达到了这个理论标准。

中国一些数学史学者在进行中国古代数学的比较评判时,往往把第一层次的工作与第二层次的工作混同起来,尤其是在没有指出应有的评价准则时就把自己的感悟、个人的理解换成一种客观的标准,进而就得出一种评判的结果。这样的结论不仅会带来研究结果的矛盾,更为重要的是会使我们的研究成果具有很大的主观性、随意性特征。例如,台湾的学者李国伟先生就曾对国内学者认为刘徽“求微数法”就是无理数的研究成果提出疑义,并且从五个层次论述了刘徽的结果与无理数理论的差异。[10]显然,对于无理数问题的评判,国内一些学者缺乏理论标准在先的意识。

在自然科学史研究中,人们就是在正确地使用方法论的同时,也还有一个对史实论证过程中的潜在的理论模式影响的问题。这个问题实际已经超越了方法论意义的讨论,它实质上涉及了用什么样的古代数学理论模式来评判筹算所具有的理论价值。例如,对于中国筹算发展为珠算的评判以及对宋元数学和明代珠算的评价,虽然在数学史的研究中属于第一个层次的问题,但是它实际上已经涉及了用一种什么样的古代数学的模式来评判筹算取得的一些成果。

现在可以看出,中国古代数学史研究中出现的某些相互矛盾的结论,不仅仅是一个方法论方面的问题,它实际上涉及到用什么样的理论标准来评价筹算的发展、演变以及不同时期取得的成就。更进一步的问题可以成为,中国古代筹算是应当按照西方古代数学的模式来评价,还是放弃西方古代数学的模式重新建立一个中国文化中数学发展的模式,可以说这后一个问题是中国数学史面临的一个很值得讨论研究的理论问题。

三、筹算的特征及分析

从目前数学史研究中可以发现,人们对筹算构成的一些理论性问题很感兴趣,评价颇高,而对实际应用的发展评价颇低,似乎不被看作是中国古代数学的什么重大成果。同样的,人们对《九章算术》中表现的逻辑形式十分看重,而对它表现的筹算操作运演本身评价一般(如对代表正、负意义算筹形式及其排摆方法)。其实中西古代数学明显地存在巨大差异,这些差异正是我们客观认识中国古代数学发展模式和理论框架的必要基础。

吴文俊先生认为,中国古代数学是紧紧依靠算器而形成的一种数学模式。

“我国的传统数学有它自己的体系与形式,有着它自身发展途径和独到的思想体系,不能以西方数学的模式生搬硬套……从问题而不是从公理出发,以解决问题而不是以推理论证为主旨,这与西方以欧几里得几何为代表的所谓演释体系旨趣迥异,途径亦殊……在数学发展的历史长河中,数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长,交替成为数学发展中的主流。”[11]中国筹算的依靠算具、形数结合、重在操作运演本身,以解决具体问题为构造模式的这些特征应当看作是一种中国古代数学的理论发展模式。

从中西古代数学的比较可以得到如下四个方面差异。

1.筹算的运演和结果表现在一种竹棍摆排上,而古希腊数学运演和结果则表现在文字符号书写上。

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nbsp; 2.筹算在运演是一种竹棍的排摆,是一种规则指导下的手工操作,而古希腊数学的运演是书写在文字符号的运演过程中,是一种规则指导下的文字运演过程。

3.筹算是以具体问题的分类构成体系,而古希腊数学是以文字符号运演的逻辑形式进行分类(按数学的内部规律进行分类)并构成体系。

4.筹算是以实际致用为发展方向,而古希腊数学则是以理性精神的表述为自己的发展方向(西方着名科学哲学家波普尔,直到今天仍认为欧几里得的《几何原本》并不是数学的教材而是柏拉图构造世界的一种图示,因为它以五种正多面体结束最终的构造[12])。

对照上面筹算与古希腊数学的差异,我们可以看出中国古代数学理论建构的某些特征。

第一,运用形数结合的竹棍来表现数学,竹棍的运演本身及竹棍自身的变化就毫无疑问应当是中国古代数学发展的一个重要内容。

第二,运用竹棍的手工操作规则是一种算法而且不留有过程,竹棍操作运演是一种程序。筹算的程序应当是中国古代数学的一个重要内容。这与古希腊文字运演重视逻辑思维方式、逻辑运演的规则是完全相异的。

第三,筹算是以实际问题的类型分类建构,这与古希腊数学以公理、公式为类型的建构模式完全相异。

第四,筹算的致用发展是一种民族文化赋予它的价值取向,它不会也不可能从理性的意义去构造自身、发展自身。因为在中国文化中,起文化中理性指导作用是《周易》的六十四卦模式。[13]

运用上面四个特征的分析,我们可以获得如下的一些结论。

结论1 筹算运演程序的成就及筹算运演工具自身的改进和创造(筹算到珠算)都应看作是中国古代数学的重大进展,亦应看作是对人类古代数学的贡献。

结论2 中国古代数学的逻辑思维方式与古希腊数学的逻辑思维方式的对比是不对称的比较,中国古代数学的算法程序(包括摆排的技巧及指导思想)才是与古希腊逻辑思维方式相对称的比较。在人类思维的意义上,筹算算法程序的建立和发展与古希腊数学形式逻辑思维的创立和发展是人类古代数学思想的两大方向。

结论3 数学的理性构造不应当依西方古代数学的模式为唯一的人类古代数学的模式,数学理性构造的方向是一种文化特征。应当在明确两种文化的数学理性层次(处于形而上层次还是处于形而下层次)差异的基础上,进行数学自身意义的比较,而不能把一种民族文化特征(如西方数学在理性意义上的构造及在理性意义对其它学科的影响)看作人类古代数学的唯一的特征或必要的特征。

应当说,讨论方法论的层次、讨论中西古代数学的模式差异,已经上升为对古代数学的一种哲学意义的思考。目前,中国古代数学史的研究还缺乏对筹算的一些哲学层次的理性思考,我们的一些中西古代数学比较研究往往会不自觉地把西方数学的模式套到筹算上来。

值得指出的是,许多数学史学者在进入到中西古代数学的比较评价时就进入了一种二难状况。其一,是中国学者往往从自身的文化传统及研究中深感筹算的意义,但是筹算与古希腊数学相比却总是由于差异而难获公论。其二,企图找出筹算与古希腊数学具有的某些相似的特征,并以此论证筹算的历史地位,但在古希腊数学的模式面前又很难比较。

笔者认为,中国古代数学史的研究要想走向世界,一个重要的理论问题就是要在哲学的意义上建立一个没有西方数学价值观影响的或称之为超越西方古代数学模式的古代数学理论模式。数学是一种文化这已是中西方学者在目前的共识,文化差异不应当是抹杀古代数学成就的条件,而应当成为人类古代数学不同贡献的说明。我们只有认清中国文化中数学的文化层次、价值取向以及运演工具、运演方式、构造模式的特征,我们才能在一种中西文化差异的基础上客观。

地评价筹算取得的成果以及它对人类古代数学的贡献。

【参考文献】

[1] 袁晓明:《数学思想导论》,广西教育社,1991年版,125页。

[2] 郭书春:“关于中国古代数学哲学的几个问题”, 《自然辩证法通讯》,1988年,第4期,44页。

[3] 巫寿康:“刘徽《九章算术》逻辑初探”, 《自然科学史研究》,1987年,第1期,20页。

[4] 李约瑟:《中国科学技术史》三卷,科学出版社,1978年,337页。

[5] 陈省身:《陈省身文选》,科学出版社,1991年版,244页。

[6] 李继闵:《中国数学史论文集》(二),山东教育出版社,1986年版,14页。

[7] 王宪昌:“宋元数学与珠算的比较评价”, 《自然科学史研究》,1996年,第1期

[8] 王宪昌:“宋元数学与文化价值观”, 《大自然探索》,1995年,第124—127页。

[9] 王宪昌:“试论中国古代数学的评价准则”, 《科学技术与辩证法》,1995年,第5期,15—18页。

[10] 李国伟:“《九章算术》与不可公度”,《自然辩证法通讯》,1994年第2期,53页