希腊几何学是数学史上一颗璀璨的明珠。她作为一种科学研究的范式,直接影响过西方数学,乃至整个科学的发展。着名数学史学家克莱因在《古今数学思想》一书中曾经指出过:“希腊人在文明史上首屈一指,在数学史上至高无上。”并且他提出了数学思想史上非常重要的一个问题,这就是“文明史上的重大问题之一,是探讨何以古希腊人有这样的才气和创造性。”[1]本文试图对“克莱因问题”进行探索求解,以破解长期困扰着数学史研究中的希腊论证几何学的成因之谜。反观“中国古代为什么没有产生证明几何学”也就容易找到答案了。

一

古希腊是一个移民的社会,从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为纽带的宗法式的社会结构。这种以地缘关系为基础的社会共同体,加上希腊所处的独特地理位置,为希腊古典的民主政治和商品经济——希腊城邦制的出现提供了必要的条件。在此基础上,古希腊社会孕育出了一种独特的文化形态——古典的理性文化或科学文化。希腊几何学正是在这种理性文化中诞生、形成和发展起来的。

古希腊是法学的发源地,法律文化得到了充分的发展。公元前11世纪——9世纪是希腊的荷马时代,也就是史称的“英雄时代”。这一时代是希腊社会发生重大变革的时代,首先表现在希腊人自我意识的觉醒。希腊人开始从宗教神学中解放出来,以“人为一切事物的尺度”来审视世间的一切。荷马时代实质上是希腊历史上的一次思想启蒙运动,是古希腊文明的开端。从此,希腊民族完成了从神秘主义文化向理性主义文化的转变,开创了以法律文化为轴心的科学文化的历史进程。《荷马史法》作为调整社会关系、重建社会秩序的法典,确立了一种政治民主制:其中包括议事会、人民大会和首长选举等内容。因此可以说,希腊文化的源头或逻辑起点是《法典》,由此铸成希腊民族的“法律”意识和“法制”观念。尔后的德拉古立法,直到公元前594年梭伦立法,最终确立起古希腊的法律体系,推动了希腊民族法律文化的繁荣发达。希腊人唯“法”是从,遇事讲“理”,依法办事,他们以“法”的眼光审视社会、审查自然、审理知识,创造出了独具特色的古希腊文明。

希腊几何学的证明思想导源于法律文化,论证几何发凡于梭伦立法时代。希腊的法学称“正义学”。人们在立法的过程中首先遇到的是:“什么是正义?为什么有罪?”等法理问题。其中包括“公理、公设、前提、条件”等法学的基础问题,以及审判过程中的“事实、理由、证据、推理”等法学的逻辑问题。要从根本上弄清楚这些法理问题,人们就必须在思想上进行一种“分析”的理性思考。立法者告诫人们:法律是规则的、普遍的,并对一切人都是相同的;法律所需要的是公平,诚实与有用;他们欲求为一普遍的规律对于一切人都是一样,因为种种理由所有的人都要服从法律。

梭伦当权后,所做的第一件事,同时也是最大的一件事,就是对“法律”制度的改革。他认为,无法和内乱是人类最大的灾难,而法律和秩序则是人类最大的幸福。梭伦改革的目标是企图建立一个为新的、旧的势力都能接受的民主和谐的政治,以保证社会各种势力的平衡和政治稳定。为此,梭伦建立了新的法律,史称“梭伦”立法。其中最大的举措是加强了公民大会的权力,凡年满20岁的雅典公民均可参加,会议定期举行。400人组成议会。他创建了宏大的人民法院依利艾阿,总人数达6000人,任何人都可以谴责执政官的无理决定。

公元前6世纪雅典陪审法院的建立,这不仅标志着希腊民主政治的进一步完善,而且更为重要的是促进了整个希腊学术思想的繁荣与发达。古希腊的法律文化发展到一个新的阶段。首先是推动了自然法的理论研究。强调其法律存在的客观性和同一性,认为不同国家和不同时代的法律有其共同的根源和价值目标,这就是人的本性和规律,就是理性,就是正义所综合的一系列价值目标,如自由、平等、秩序等。因此,自然法学者特别重视探索法律的终极目标和客观基础。其二,法根源于人的永恒不变的本性:社会性和理性。真正的法律或自然法应与之相符,特别是与理性相符合,或者说法是人的理性所发现的人的规律和行为准则,是“理性之光”,它能照亮人前进的道路。其三,法的功能和目的在于实现正义。所谓正义,就是基于公共幸福的合理安排,就是人在社会中“得其所哉”,即享受人应该享受的权力和平等地承担义务,法律面前人人平等。其四,法律作为一种社会的行为准则能使人们辨是非、知善恶,自然法就是人们不断追求的终极性的价值目标。

生活在梭伦立法时代的泰勒斯,与梭伦同为希腊“七贤”里的人物。他受希腊法律文化(社会立法)的深刻影响,尤其是受自然法理论研究的启发,创造性地运用法学的思想和方法为知识“立法”。泰勒斯对经验几何学知识进行了卓有成效的理性研究。作为数学思想家的泰勒斯,他突破了以往几何知识仅仅“是什么”的认识水平,将几何知识提升到了“为什么”的认识层次。由此开几何命题的证明之先河。泰勒斯在进行几何学研究的过程中,不仅发现了“任何圆周都要被其直径平分;等腰三角形的两底角相等;两直线相交时,对顶角相等;若已知三角形的一边和两邻角,则此三角形完全确定;半圆周角是直角”等五个几何命题,而且还从理论上证明了这些命题。[2]

毕达哥拉斯继承和发扬了泰勒斯的证明几何学,并且将数学概念抽象化,进一步推动了演绎数学的发展。毕达哥达斯的“数是万物的本质,宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐体系”的数理宇宙观对古希腊的数学思想产生了极其深刻的影响。毕达哥拉斯学派因发现“无理数”(不可公度的量)而引起的第一次数学危机,充分证明了几何证明的必要性,在一定程度上进一步推动了人们对几何命题的理论证明。

贯穿于希腊古典民主政治、商品经济和理性文化之中的是希腊的自由精神,这是在世界上其他任何民族都没有出现的。这种自由精神最终演化为学术思想上的自由探索精神。正是这种“百家争鸣”的希腊研究之风,才迎来了“百花齐放”的希腊科学之春。

二

独具特色的希腊语言文化也是希腊理性主义起源的一个重要诱发因素。最早对语法现象进行研究的是希腊人。公元前10世纪前后,希腊人在闪语字母的基础上,经过一番改造,首次创造了音位文字字母,并且还把闪语文字自右向左的书写规则改为自左向右。到公元前775年左右,希腊人把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母,建立起了希腊语言文字系统。在此基础上理论家们开始了为语言“立法”——语法的研究。赫拉克利特指出过:“如果要想理智地说话,那就必须用这个人人共有的东西武装起来,就像城邦必须用法律武装起来一样,而且要武装得更牢固。”[3]

希腊哲学、法学、逻辑学与希腊语言文字的关系密切。哲学中的许多派别的理论观点时常牵涉到对语言的认识。法学中的论战、法律条文的制定,也往往涉及到对语言的修辞和准确的表达。逻辑学与语言学,特别是与语法学的关系更是密切相关。语言是思维的物质外壳,是思维的工具。思维要通过语言来表达,它是否合乎逻辑就成为语言表达中的一个重要问题。语言家要利用逻辑学的术语和方法来研究语言中的结构意义;另一方面,研究逻辑的也往往牵涉到语言的问题。

希腊的语言结构复杂。希腊语言中的动词更是变化多端,它有人称、时、态、体、式的变化。特别是由系动词附图变来的(附图)一词,具有多种的语言意义,表现出多种的语法关系。正是这种奇特的语言现象引起了理论家们的关注,成为“智者”们思考和研究的对象。

当希腊语中使用“附图”一词时,就有多种不同的意义。亚里士多德曾经指出:“当动词‘是’被用来作为句子中的第三种因素时,会产生两种肯定命题与否定命题。如在句子中‘人是公正的’中,‘是’这个词被用作第三种因素,无论你称它是动词,还是名词。”[4]系动词“附图”在希腊语中不同凡响,它是人们进行言语对话,进行思想交流,进行陈述和判断不可缺少的词语。同时,在人们的语言表达中最容易产生歧义的也是这个中词。在“他在这儿”这个句子中,它所表示的是一种物理位置;在“天使是白色的”这个句子中,它表示天使的一种与位置或物理存在无关的属性;在“那个人正在跑”这个句子中,这个词所表示的是动词的时态;在“二加二等于四”这个句子中,它的形式被用于表示数字上的相等;在“人是两足的能思维的哺乳动物”这个句子中,它的形式被用来断言两组之间的等同。

在形式逻辑的主宾式语句中“附图”是一个典型的多义词。它可以表示“=”(等于)、“∈”(隶属)和“附图”(包含)三种关系。例如:(1)“欧几里得是《几何原本》的作者”与“《几何原本》的作者是欧几里得”,这里的两个“是”具有可逆性,他们是一种等价的关系(=),可解释成关系“=”(等于)。(2)“欧几里得是古希腊的数学家”中的“是”为“∈”(隶属)。即个体和集合之间的隶属关系、层次关系,因而不可逆。可解释成关系“∈”(隶属)。(3)“数学家是科学家”中的“是”被解释成关系“附图”(包含),即集合与集合之间的包含关系,一般来说也是不可逆的。科学家不一定是数学家。

正是由于希腊语言中的这种多义词,也往往容易产生语言思维中的歧义性,由此引发了语言文化史上的“希腊景观”——观念的战争。正如科学哲学家被波普尔所指出的那样“观念的战争是希腊人的发明,它是曾经作出的最重要的发明之一。实际上用语词战争代替刀剑战争的可能性,还是我们文明的基础。特别是我们文明的一切立法和议会机构的基础。”[5]

由此可见,当我们探索追踪古希腊论证几何学的成因的时候,我们不能不考察独特的古希腊语言文化方面的根源。

三

古希腊哲学——本体论、知识论和逻辑学是希腊理性文化中的精品。“爱智者”们从深层次的根基问题上开始了对法学和语言学中所提出的带普遍性的诸如“自然规律”、罗各斯、真理等知识理论问题进行理性思考。公元前5世纪出现的智者运动,对希腊哲学的发展以及几何学的发展产生了重大的影响。当时,雄辩术(Sophistry)的一个方面或一种类型就是进行某种语言审查,称为反驳论证(Elenchis),要求把一切行为都置于理性批判和理性推论的基础之上。希腊论辩术除了论点和论据以外,还涉及到逻辑,即语言处理法。“逻辑”这个概念,在古希腊语言文化的使用中有多种含义:发言、演说、陈述、论证等等。但概括起来讲,逻辑一词主要有三个应用领域,它们之间有着潜在的概念上的统一性。首先是语言和语言的领域,包括发言、演说、描述、陈述、(用语言表达的)论证等等;其次是思想和思维过程的领域,包括思考、推理、解释、说明等等;第三是世界,即我们所言说、所思想的对象,包括构造原理、公式、自然法则等等。

词汇、思想和事物之间究竟是一种什么关系?这成为智者们思考的一个重要问题。一旦人们把这三者区分开来,同时仍然坚持作为获得真理和知识的必要条件,三者之间应该具有某种一致性,由此人们就面临着如何最恰当的理解逻辑与这三者的关系问题。一个事物的逻辑就是:其一,事物自身的原则、本质、显着标志或事物本身的组成部分;其二,我们认为它所是的东西;其三,对事物(语言上的)正确描述、说明或定义。这些都提出了是什么的问题。事物的逻辑在第一项下是指事物是什么;在第二项下是指人们认为它指的是什么;在第三项下是指人们说它是什么。归根到底,从最高意义上讲,也就是思维和存

在的关系问题。苏格拉底向人们指出,要解决这个问题,“最好求助于罗各斯,从中考查存在的真理。”

至少有10种含义的希腊字“附图”成为苏格拉底时代希腊哲学发展的突破口。独特的希腊系动词“是”(附图)引起了理论家们的注意,成为哲学家思考和研究的对象,由此而开创了哲学本体论的研究领域。作为哲学范畴的“附图”一词的哲学意义为“存在”、“本性”、“有”、“是”。

存在与非存在、有与无、是与非等问题的论争贯穿于希腊哲学发展的全过程,特别地成为辩证法的摇篮。三大几何难题(三等分角、化圆为方、立方倍积)和芝诺四大悖论(实质是运动和静止、有限和无限、连续和间断的矛盾性)的出现都是希腊人辩证思维的产物。

苏格拉底在爱利亚学派的本体论和芝诺反证法的基础上,首创“诘问式”的辩证方法,一种“发明观念”的矛盾方法,促进了对“定义”和“推论”的深化研究。他提出“真正的知识基于普遍的定义”和“归纳的理论”。他以逻辑辩论的方式启发思想,揭露矛盾,以辩证思维的方法深入到事物的本质。苏格拉底致力于寻求事物的普遍定义,例如“什么是正义”。他总是以提问的方式揭露对方提出的各种命题、学说中的各种矛盾,以动摇对方论证的基础,指明对方的无知。苏格拉底以此来训练人的逻辑推理能力。

柏拉图不仅是一位法理学家,而且是一位极其重要的数学思想家。“不懂几何者不能入内”是他教育学生、训练思维的主要方法。在数学教育史上,柏拉图是第一个提出以几何学作为训练和提高人的思维能力的哲学家和教育家。在数学方法论上,柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人。他特别关心数学中的证明问题,关心推理过程中的方法论。柏拉图提出数学证明应以某种假设作为出发点,即公理、然后通过一系列逻辑推理,最后达到所要证明的结论。他将这种数学推演过程概括为“假设法”。柏拉图学派把几何学证明方法的发明推向高潮。他们发明了几何证明中的分析法、间接证明中的归谬法。古希腊从柏拉图时代起,数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明,已经成为数学研究中的一个准则。演绎证明是以其正确性已经是众所周知的理论陈述,或者以在一个既定的理论体系中被视为正确的公理为出发点,并以它们为根据,借助于逻辑的最终规则,构成一系列陈述,而这些陈述的最后是可以被论证的命题。每一个相继产生的陈述必须按照最终规则从前一个陈述中产生。数学中纯粹的演绎证明,早已是以相关理论的广泛的形式化为前提。

法学家、哲学家、数学家欧多克索斯,继承了毕达哥拉斯学派开创的把几何学作为证明的演绎科学进行研究的方向。在同代人,特别是柏拉图学派的研究基础上,初步建立起以公理为依据的演绎法。欧多克索斯的数学思想完全来源于希腊的哲学文化。希腊字假设(hypothesis),其本意为辩论双方可接受的命题为出发点,不需证明或证实的是基本命题。公理(Axioma)原义乃请求,转义为公理,指基础、研究的出发点。欧多克索斯总结出直接证明的演绎推理手法与间接证明的反证法,分析法和综合法为几何证明中的主导思想方式。

亚里士多德为古希腊哲学文化的集大成者。他倡导“第一哲学”,研究“存在的存在”,作为“是的是”的科学。他认为,思想在推理和证明的过程中的联系、逻辑学定律和规则,是以存在本身的联系为基础的。亚里士多德的形式逻辑,作为工具论,对希腊证明几何学的最终完成,作出了重要贡献。他在《分析篇》中指出:“我们无论如何都是通过证明获得知识的,我所谓的证明是指产生科学知识的三段论。所谓科学知识,是指只要我们把握了它,就能据此知道事物的东西。”[4]他在《论题篇》中指出:“推理是一种论证,其中有一些被假设为前提,另外的判断则必须由它们发生。当推理由此出发的前提是真实的和原初的时……这种推理就是证明的。”[4]亚里士多德明确提出证明三要素:一是有待于证明的结论;二是公理(公理是证明的基础);三是载体性的种及其规定及依据自身的属性由证明揭示。他还认为,数学是研究形式的,人们通过算术证明几何命题。

亚里士多德的逻辑学是为人们的思维“立法”,它所总结出来的逻辑规律(同一律、矛盾律、排中律)为几何证明提供了一种法度,即有效推理的准则。数学论证必须满足两大条件:真前提或出发点,以及有效的论证。数学推理都是根据矛盾律进行的;反证法的依据是逻辑的排中律。希腊人确信,逻辑是科学的工具,真理是建立在证明之上的,而且是一种“信念”的源泉。理所当然,数学体系的建立离不开思维的逻辑工具。

四

公元前300年左右,亚历山大里亚的数学家欧几里得站在巨人的肩膀上,运用亚里士多德形式化的逻辑分析和证明理论,终于建立起一个完备的几何学知识体系。他把前人已有的几何学知识充分搜集起来并加以系统化,从中抽出那些最简单、最基本,已被无数经验事实所一再证实了的命题,作为不证自明的公理或公设,再由此出发,以严格的逻辑演绎方法,循序渐进、由简及繁地引出几何学的全部定理,并为之提供了精辟的逻辑证明。《几何原本》的诞生,标志着希腊证明几何学的完成和演绎数学体系的确立。

在《几何原本》里,欧几里得对他以前的和他亲自增补的所有几何问题,作出了严格的逻辑性的叙述。这种叙述是借助于演绎法包含把假定作为基础的某些不要求证明的定义和真理,而一切进一步的原理则用严格的证明作出,这些证明或者是根据这些真理,或者是根据由真理得出的原理。欧几里得倡导的“定义—公设—公理—命题”四步曲,成为数学研究的纲领方法论和数学理论最通用的铺陈方式,以及“已知—求证—证明”的数学演算三段论,对后世的数学发展产生了极其深远的影响。

综上所述,我们可以得出以下结论:希腊几何学从泰勒斯开始,到欧几里得完成,其间经历了萌芽、生长、成熟和定型四个阶段,历经300余年的发展。每一个阶段的演进都受到了希腊理性文化的深刻影响。法律文化中的公理、假设、理由、证据等范畴是几何学中的公理、公设、推论、证明的概念根源;语言文化中的希腊系动词“是”(附图)独特的语法现象,诱发出了哲学本体论和知识论的研究,以及逻辑学中的概念、判断和推理等思维形式的研究,这些都成为几何学中的定义、推论和证明的理论基础;博大精深、内涵丰富的希腊哲学文化,成为几何证明方法不断发明创造的源泉动力。反过来,公理几何学的发展,给希腊理性文化以影响,使之具有几何学的本质。由此从中给人们透露出一种信息:几何学,乃至整个数学的发展无不受到人文、社会科学发展的影响和制约。文理交叉、优势互补、相得益彰、协同进化,是科学发展的一条重要规律。

【参考文献】

[1] 克莱因着,张理京译,《古今数学思想》(一),上海科学技术出版社,1979年,第28页。

[2] 斯科特着,侯德润译,《数学史》,商务印书馆,1982年,第25页。

[3] 北京大学哲学系外国哲学史教研室编译,《西方哲学原着选读》(上)商务印书馆,1986年,第25页。

[4] 苗力田主编,《亚里士多德全集》(一),中国人民大学出版社,1990年,第62、247、353页