【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下学期期中测试题：理科题希望此文能给您带来帮助。

本文题目：高三数学下学期期中测试题：理科题

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数 的取值范围是

A. B. C. D.

2.已知集合 ，集合 满足 ，则集合 的个数是

A.6 B. 7 C. 8 D. 9

3.已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则

A. B. C. D.

4. 是函数 有零点的

A.充分非必要条件 B.充要条件

C.必要非充分条件 D.非充分必要条件

5.已知函数 ，xR,则 是

A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数

C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数

6.已知向量 , ，如果向量 与 垂直，则 的值为 ( )

A.1 B. C. D.

7.已知 满足 ，则 的最大值是( ).

A. B. C. D. 2

8.设 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 和向量 ,都有 ,则称 为点射域,则下列平面向量的集合为点射域的是

A. B.

C. D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9. 的解集是 ▲ .

10.在 的展开式中常数项是 ▲ .(用数字作答)

11.某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有 ▲ 人.

12. 短轴长为 ,离心率 的椭圆的两焦点为 ,过 作直线交椭圆于 两点,则 的周长为 ▲ ?

13.如果实数 满足等式 ,那么 的取值范围是 ▲

( ) ▲

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ▲

15.(几何证明选讲选做题)2，点 是⊙O外一点， 为⊙O的一切线, 是切点，割线经过圆心O，若 ， ，则 ▲

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知数列 是一个等差数列，且 ， .

(I)求 的通项 ;

(II)设 ， ,求 的值。

17.(本小题满分13分)

2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果3所示：

(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法?

(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名?

(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数 的分布列及其均值(即数学期望)。

18. (本题满分13分)

已知△ 的面积为 ，内角 的对边分别为 ，已知 .(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)求 的值;

(Ⅲ)求向量 的数量积 .

19.(本小题满分14分)

4，已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面) 的侧面 与底面ABC垂直， ， .

(Ⅰ) 求侧棱 在平面 上的正投影的长度.

(Ⅱ) 设AC的中点为D，证明 底面 ;

(Ⅲ) 求侧面 与底面ABC所成二面角的余弦值;

20. (本小题满分14分)

已知圆C与两圆 ， 外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点 的距离的最小值为 ，点 与点 的距离为 .

(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程;

(Ⅱ)求满足条件 的点 的轨迹Q的方程;

(Ⅲ)试探究轨迹Q上是否存在点 ，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。若存在，请求出点B的坐标;若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分14分)

设函数 .

(Ⅰ)求函数 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 有两个极值点 且 ，求证 .

肇庆市中小学教学质量评估

2012届高中毕业班第一次模拟试题

数 学(理科)参考

1C解析：由题意可知，

2C解析：集合 有 共8个

3D解析：由已知得

4C解析：函数 有零点， ，反之不然.

5A解析：∵ ,函数 是最小正周期为 的奇函数

6D解析： ，∵ ,

,解得 ,

7B解析:不等式组表示的平面区域所示.

角点坐标分别为 ,

8B解析:由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量 ，对任意正实数 所得的向量 不能再通过平移到原区域内，所以排除A、C、D，给出图像，易知B正确.

9解析： . ∵ , 或 (舍去). ,或 .

10解析:45. 的通项为Tr+1= ，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为 =45.

11解析：11. 由图知，成绩在 内的人数为： (人)

所以这次百米比赛中获奖的人数共有11人.

12解析:6. 由题知 即 ,解得

由椭圆的定义知△ABF2的周长为 .

13解: 用数形结合,设 ,则 表示经过点 的直线, 为直线的斜率.所以求 的取值范围就等价于求同时经过点 和圆上的点的直线中斜率的最大最小值.从图中可知,当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为 和 ，其中 不存在，由圆心 到直线 的距离 解得 ,所以 的取值范围是 .

14解析：1. 圆的直角坐标方程为 ，直线的直角坐标方程为 ，圆心到直线的距离 ，所以圆上一点直线的最小值等于

15解析：2. 由已知 得 ,在 中，

,所以 ,又由割线定理得 ,解得 .

16解：(Ⅰ)设 的公差为 ，由已知条件， ，(2分)

解得 ， .(4分)

所以 .(6分)

(Ⅱ)∵ ，

(8分)

(12分)

17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.(3分)

(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有： 人，

四川籍的有： 人，(4分)

设四川籍的驾驶人员应抽取 名，依题意得 ，解得

即四川籍的应抽取2名. (7分)

(Ⅲ) 的所有可能取值为0，1，2;(8分)

， ， ，(10分)

的分布列为：

0 1 2

(11分)

均值 .(13分)

18解：(Ⅰ)由 ，即

得 (2分)

∵ ， (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

∵ ， (5分)

(6分)

(7分)

(9分)

(Ⅲ)∵ ， (10分)

设向量 与 所成的角为 ，则 (11分)

(13分)

19解：(方法一)(Ⅰ) ∵ 是斜三棱柱, 平面 ，

故侧棱B1B在平面 上的正投影的长度等于侧棱 的长度.(2分)

又 ,故侧棱 在平面 的正投影的长度等于 . (3分)

(Ⅱ)证明： ∵ ， ，

三角形 是等腰直角三角形，(5分)

又D是斜边AC的中点， (6分)

∵平面 平面 ，A1D底面 (7分)

(Ⅲ)作DEAB，垂足为E，连A1E，∵A1D面ABC，得A1DAB.

平面 ，(8分)

从而有 ，A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角. (9分)

∵ ，

三角形 是直角三角形，

ED∥BC ，又D是AC的中点，

，

，

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为 . (14分)

(方法二)

(Ⅰ)同方法一

(Ⅱ)同方法一

(Ⅲ)∵ ，

三角形 是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，

则 ，

(8分)

以D为原点， 所在的直线为 轴，DC所在的直线为 轴，平行于BE的直线为 轴，建立空间直角坐标系，所示，则

设平面 的法向量为 ，

则 ，即 化简得

令 ，得 ，所以 是平面 的一个法向量. (11分)

由(I)得A1D面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为 (12分)

设向量 和 所成角为 ，则 (13分)

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为 . (14分)

20解析：(Ⅰ)两圆半径都为1，两圆心分别为 、 ，由题意得 ，可知圆心C的轨迹是线段 的垂直平分线， 的中点为 ，直线 的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段 的垂直平分线方程为 ，即圆C的圆心轨迹L的方程为 。(4分)

(Ⅱ)因为 ，所以 到直线 的距离与到点 的距离相等，故点 的轨迹Q是以 为准线，点 为焦点，顶点在原点的抛物线， ，即 ，所以，轨迹Q的方程是 (8分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 ， ，所以过点B的切线的斜率为 ，切线方程为 ，令 得 ，令 得 ，

因为点B在 上，所以

故 ，

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

设 ，即 得 ，所以

当 时， ，当 时， ，

所以点B的坐标为 或 . (14分)

21解：(Ⅰ)函数 的定义域为 ，(1分)

(2分)

令 ，则 .

①当 ，即 时， ，从而 ，故函数 在 上单调递增;(3分)

②当 ，即 时， ，此时 ，此时 在 的左右两侧不变号，故函数 在 上单调递增; (4分)

③当 ，即 时， 的两个根为 ，当 ，即 时， ，当 时， .

故当 时，函数 在 单调递减，在 单调递增;当 时，函数 在 单调递增，在 单调递减.(7分)

(Ⅱ)∵ ,当函数 有两个极值点时 ， ，

故此时 ，且 ，即 ， (9分)

,

设 ，其中 ， (10分)

则 ，

由于 时， ，故函数 在 上单调递增，

故 .

. (14分)