【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下学期期中试题：理科试题希望此文能给您带来帮助。

本文题目：高三数学下学期期中试题：理科试题

说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相 应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

1. 函数 的最小正周期是 .

2. 二项式 的展开式中的常数项是 .(请用数值作答)

3. 函数 的定义域是 .

4. 设 与 是两个不共线的向量，已知 ， ， ，则当 三点共线时， .

5. 已知各项均为正数的无穷等比数列 中， ， ，则此数列的各项和 .

6. 已知直线 的方程为 ，点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为 .

7. ，该框图所对应的程序运行后输出的结果 的值为 .

8. 若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点的坐标为 ，则该双曲线的标准方程为 .

9. ，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm2.

10. 给出问题：已知 满足 ，试判定 的形状.某学生的解答如下：

解：(i)由余弦定理可得，

，

，

,

故 是直角三角形.

(ii)设 外接圆半径为 .由正弦定理可得，原式等价于

，

故 是等腰三角形.

综上可知， 是等腰直角三角形.

请问：该学生的解答是否正确?若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. .

11. 已知数列 是等比数列，其前 项和为 .若 ， ，则 .

12. 若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 .

13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为 的 个小正方形(如右图)，需满足任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 、 、 的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足1、3、5、7、9为同一颜色，2、4、6、8为同一颜色的概率为 .

14. 设 ， 表示关于 的不等式 的正整数解的个数，则数列 的通项公式 .

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内)，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

15. 成等差数列是 成立的 ( )

A.充分非必要条件; B.必要非充分条件;

C.充要条件; D.既非充分 也非必要条件.

16. 设 是直线 的倾斜角，且 ，则 的值为 ( )

A. ; B. ; C. ; D. .

17. 设全集为 ，集合 ， ，

则集合 可表示为 ( )

A. ; B. ; C. ; D.

18. 对于平面 、 、 和直线 、 、 、 ,下列命题中真命题是( )

A.若 ，则 ;

B. 若 则 ;

C. 若 ，则 ;

D. 若 则 .

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19. (本题满分12分)已知 函数 ， 的图像分别与 轴、 轴交于 、 两点，且 ，函数 . 当 满足不等式 时，求函数 的最小值.

20. (本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分)

,已知圆锥体 的侧面积为 ，底面半径 和 互相垂直，且 ， 是母线 的中点.

(1) 求圆锥体的体积;

(2)异面直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数表示).

21. (本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

已知 中， ， .设 ，记 .

(1) 求 的解析式及定义域;

(2)设 ，是否存在实数 ，使函数 的值域为 ?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.

22. (本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分)

已知数列 是首项为 的等比数列，且满足 .

(1) 求常数 的值和数列 的通项公式;

(2) 若抽去数列 中的第一项、第四项、第七项、、第 项、，余下的项按 原来的顺序组成一个新的数列 ，试写出数列 的通项公式;

(3) 在(2)的条件下，设数列 的前 项和为 .是否存在正整数 ，使得 ?若存在，试求所有满足条件的正整数 的值;若不存在，请说明理由.

23. (本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分)

设点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的 个不同的点( ).

(1) 当 时，试写出抛物线 上的三个定点 、 、 的坐标，从而使得

;

(2)当 时，若 ，

求证： ;

(3) 当 时，某同学对(2)的逆命题，即：

若 ，则 .

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);

② 对任意给定的大于3的正整数 ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).

【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

高三数学下学期期中试题：理科试题参考答案

一、填空题(每小题4分，满分56分)：

1. ; 2. ; 3. (文) ; (理) ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

10. 等腰或直角三角形; 11. (文) ;(理) ; 12. (文) ;(理) ;

13. (文) ;(理) ; 14. .

二、选择题(每题5分，满分20分)：

题号 15 16 17 18

答案 A B D D

三、解答题(满分74分)：

19.(本题满分12分)

解：由题意知： 、 ，则

可解得： ，即

因为 ，即 ，解不等式得到

因为 ，则 所以 ，

当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.

所以，当 时， 的最小值为 .

20.(本题满分12分)

解：(1)由题意， 得 ，

故

从而体积 .

(2)2，取 中点 ，联结 .

由 是 的中点知 ，则 (或其补角)就是异面直线 与 所成角.

由 平面 平面 .

在 中，由 得 ;

在 中， ， ， ，

则 ，所以异面直线 与 所成角的大小 .

21. (本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分)

解：(1)，在 中，由 ， ，

可得 ，

又 ，故由正弦定理得

、 .

则函数

，

其中定义域为 .

说明：亦可用积化和差方法化简：

.

(2)

由 可得 .显然， ，则

1 当 时， ，则 的值域为 ;

2 当 时， ，不满足 的值域为 ;

因而存在实数 ，使函数 的值域为 .

22. (本大题满分16分，第1小题满分 5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分)

(1)解：由 得 ， ，

又因为存在常数 ，使得数列 为等比数列，

则 即 ，所以 .

故数列 为首项是2，公比为2的等比数列，即 .

此时 也满足，则所求常数 的值为1且 .

(2)解：由等比数列的性质得：

(i)当 时， ;

(ii) 当 时， ，

所以 .

(3)(文科)解：注意到 是首项 、公比 的等比数列， 是首项 、公比 的等比数列，则

(i)当 时，

;

(ii)当 时，

.

即 .

(3)(理科)解：(续文科解答过程)

假设存在正整数 满足条件，则 ，

则(i)当 时，

，

即当 时满足条件;

(ii)当 时，

.

因为 ，所以此时无满足条件的正整数 .

综上可得，当且仅当 时， .

23. (本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分)

(理)解：(1)抛物线 的焦点为 ，设 ，

分别过 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 .

由抛物线定义得

因为 ，所以 ，

故可取 满足条件.

(2)设 ，分别过 作抛物线 的准线 垂线，垂足分别为 .

由抛物线定义得

又因为

;

所以 .

(3) ①取 时，抛物线 的焦点为 ，

设 ， 分别过 作抛物线 的准线 垂线，垂足分别为 .由抛物线定义得

，

则 ，不妨取 ; ; ; ，

则 ，

.

故 ， ， ， 是一个当 时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设 ，分别过 作

抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 ，

由 及抛物线的定义得

，即 .

因为上述表达式与点 的纵坐标无关，所以只要将这 点都取在 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，

而 ，所以 .

(说明：本质上只需构造满足条件且 的一组 个不同的点，均为反例.)

③ 补充 条件1：点 的纵坐标 ( )满足 ，即：

当 时，若 ，且点 的纵坐标 ( )满足 ，则 .此命题为真.

事实上，设 ，

分别过 作抛物线 准线 的垂线，垂足分别为 ，由 ，

及抛物线的定义得 ，即 ，则

，

又由 ，所以 ，故命题为真.

补充条件2：点 与点 为偶数， 关于 轴对称，即：

当 时，若 ，且点 与点 为偶数， 关于 轴对称，则 .此命题为真.(证略)

23.(文)(1)解：抛物线 焦点 ，准线 方程为： .由抛物线定义得

， ， ，

.

(2)证明：由 ， ， ，， ，

，

即 .

则

.

(3)经推广的命题：

当 时，若 ，则 .

其逆命题为：

当 时，若 ，则 .

该逆命题为假命题.

不妨构造特殊化的一个反例：

设 ， ，抛物线 ，焦点 .由题意知：

;

根据抛物线的定义得：

;

不妨取四点坐标分别为 、 、 、 ，但

，

所以逆命题是假命题.