【摘要】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高三数学下学期理科试题：数列，供大家参考!

本文题目：高三数学下学期理科试题：数列

一、选择题

1.【2012高考重庆理1】在等差数列 中， ， 则 的前5项和 =

A.7 B.15 C.20 D.25

【答案】B

【解析】因为 ， ，所以 ，所以数列的前5项和 ,选B.

2.【2012高考浙江理7】设 是公差为d(d0)的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是

A.若d0，则数列﹛Sn﹜有最大项

B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d0

C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意 ，均有

D. 若对任意 ，均有 ，则数列﹛Sn﹜是递增数列

【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，.满足数列{S n}是递增数列，但是S n0不成立.故选C。

3.【2012高考新课标理5】已知 为等比数列， ， ，则 ( )

【答案】D

【解析】因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以 或 .若 ，解得 ， ;若 ，解得 ，仍有 ，综上选D.

4.【2012高考上海理18】设 ， ，在 中，正数的个数是( )

A.25 B.50 C.75 D.100

【答案】D

【解析】当124时， 0，当2649时， 0，但其绝对值要小于124时相应的值，当5174时， 0，当7699时， 0，但其绝对值要小于5174时相应的值，当1100时，均有 0。

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.

5.【2012高考辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=

(A)58 (B)88 (C)143 (D)176

【答案】B

【解析】在等差数列中， ，答案为B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

6.【2012高考四川理12】设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则 ( )

A、 B、 C、 D、

【答案】D

【解析】]∵数列{an}是公差为 的等差数列，且 ，即

，而 是公差为 的等差数列，代入 ，即

， 不是 的倍数， .

，故选D.

[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外， 隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.

7.【2012高考湖北理7】定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为保等比数列函数. 现有定义在 上的如下函数：

① ; ② ; ③ ; ④ .

则其中是保等比数列函数的 的序号为

A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④

【答案】C

考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.

【解析】等比数列性质， ，① ; ② ;③ ;④ .选C

8.【2012高考福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B.

考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式 。

【解析】法1：由等差中项的性质知 ，又 .故选B.

法2：

9.【2012高考安徽理4】公比为 等比数列 的各项都是正数，且 ，则 =( )

【答案】B

【解析】 .

10.【2012高考全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列 的前100项和为

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。

【解析】由 ,得 ，所以 ，所以 ，又 ，选A.

二、填空题

11.【2012高考浙江理13】设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。

【答案】

【解析】将 ， 两个式子全部转化成用 ，q表示的式子.

即 ，两式作差得： ，即： ，解之得： (舍去).

12.【2012高考四川理16】记 为不超过实数 的最大整数，例如， ， ， 。设 为正整数，数列 满足 ， ，现有下列命题：

①当 时，数列 的前3项依次为5,3,2;

②对数列 都存在正整数 ，当 时总有 ;

③当 时， ;

④对某个正整数 ，若 ，则 。

其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)

【答案】①③④

【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大.

【解析】当 时， ， ，故①正确;同样验证可得③④正确，②错误.

13.【2012高考新课标理16】数列 满足 ，则 的前 项和为

【答案】1830

【解析】由 得，

，

即 ，也有 ，两式相加得 ，设 为整数，

则 ，

于是

14.【2012高考辽宁理14】已知等比数列{an｝为递增数列，且 ，则数列{an｝的通项公式an =______________。

【答案】

【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.

【解析】

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。

15.【2012高考江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若 ， ，则 __________。

【答案】35

【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

【解析】(解法一)因为数列 都是等差数列，所以数列 也是等差数列.

故由等差中项的性质，得 ，即 ，解得 .

(解法二)设数列 的公差分别为 ,

因为 ,

所以 .所以 .

【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前 项和，等差中项的性质等.

16.【2012高考北京理10】已知 等差数列 为其前n项和。若 ， ，则 =_______。

【答案】 ，

【解析】因为 ，

所以 ， 。

17.【2012高考广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1， ，则an=____.

【答案】

【解析】由 得到 ，即 ，应为{an}是递增的等差数列，所以 ，故 。

18.【2012高考重庆理12】 .

【答案】

【解析】

19.【2012高考上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 ，则 。

【答案】 。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项， 为公比的等比数列，

+ ++ = = ， 。

【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.

20.【2012高考福建理14】数列{an}的通项公式 ，前n项和为Sn，则S2012=___________.

【答案】3018.

【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前 项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大.

【解析】因为函数 的周期是4，所以数列 的每相邻四项之和是一个常数6，所以 .

三、解答题

21【2012高考江苏20】(16分)已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ， ，

(1)设 ， ，求证：数列 是等差数列;

(2)设 ， ，且 是等比数列，求 和 的值.

【答案】解：(1)∵ ， 。

。

。

数列 是以1 为公差的等差数列。

(2)∵ ， 。

。(﹡)

设等比数列 的公比为 ，由 知 ，下面用反证法证明

若 则 ，当 时， ，与(﹡)矛盾。

若 则 ，当 时， ，与(﹡)矛盾。

综上所述， 。 ， 。

又∵ ， 是公比是 的等比数列。

若 ，则 ，于是 。

又由 即 ，得 。

中至少有两项相同，与 矛盾。 。

。

。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】(1)根据题设 和 ，求出 ，从而证明 而得证。

(2)根据基本不等式得到 ，用反证法证明等比数列 的公比 。

从而得到 的结论，再由 知 是公比是 的等比数列。最后用反证法求出 。

22.【2012高考湖北理18】(本小题满分12分)

已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 .

(Ⅰ)求等差数列 的通项公式;

(Ⅱ)若 ， ， 成等比数列，求数列 的前 项和.

【答案】 (Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，则 ， ，

由题意得 解得 或

所以由等差数列通项公式可得

，或 .

故 ，或 .

(Ⅱ)当 时， ， ， 分别为 ， ， ，不成等比数列;

当 时， ， ， 分别为 ， ， ，成等比数列，满足条件.

故

记数列 的前 项和为 .

当 时， ;当 时， ;

当 时，

. 当 时，满足此式.

综上，

23.【2012高考广东理19】(本小题满分14分)

设数列{an}的前n项和为Sn，满足 ，nN﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列.

(1) 求a1的值;

(2) 求数列{an}的通项公式.

(3) 证明：对一切正整数n，有 .

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.

【解析】(1) 相减得：

成等差数列

(2) 得 对 均成立

得：

(3)当 时，

当 时，

由上式得：对一切正整数 ，有 。

24.【2012高考陕西理17】(本小题满分12分)

设 的公比不为1的等比数列，其前 项和为 ，且 成等差数列。

(1)求数列 的公比;

(2)证明：对任意 ， 成等差数列。

【解析】(1)设数列 的公比为 ( )。

由 成等差数列，得 ，即 。

由 得 ，解得 ， (舍去)，所以 。

(2)证法一：对任意 ，(lby lfx)

，

所以，对任意 ， 成等差数列。

证法二：对任意 ， ，

，

，

因此，对任意 ， 成等差数列。

25.【2012高考四川理20】(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立。

(Ⅰ)求 ， 的值;

(Ⅱ)设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大?并求出 的最大值。

【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想

[解析]取n=1,得 ①

取n=2,得 ②

又②-①，得 ③

(1)若a2=0, 由①知a1=0,

(2)若a2 , ④

由①④得： 5分

(2)当a10时,由(I)知，

当 , (2+ )an-1=S2+Sn-1

所以，an=

所以

令

所以，数列{bn}是以 为公差，且单调递减的等差数列.

则 b1b3b7=

当n8时，bnb8=

所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

T7= 12分

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

26.【2012高考四川理22】(本小题满分14分)

已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。

(Ⅰ)用 和 表示 ;

(Ⅱ)求对所有 都有 成立的 的最小值;

(Ⅲ)当 时，比较 与 的大小，并说明理由。

[解析](1)由已知得，交点A的坐标为 ，对 则抛物线在点A处的切线方程为

(2)由(1)知f(n)= ,则

即知， 对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a

当 ,

2n3+1

当n=0,1,2时，显然

故当a= 时， 对所有自然数都成立

所以满足条件的a的最小值是 。

(3)由(1)知 ，则 ，

下面证明：

首先证明：当0

设函数

当

故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g

所以，当0

由0

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

27.【2012高考上海理23】(4+6+8=18分)对于数集 ，其中 ， ，定义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称 具有性质 .例如 具有性质 .

(1)若 ，且 具有性质 ，求 的值;

(2)若 具有性质 ，求证： ，且当 时， ;

(3)若 具有性质 ，且 、 ( 为常数)，求有穷数列 的通项公式.

[解](1)选取 ，Y中与 垂直的元素必有形式 . 2分

所以x=2b，从而x=4. 4分

(2)证明：取 .设 满足 .

由 得 ，所以 、 异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以 、 中之一为-1，另一为1，

故1X. 7分

假设 ，其中 ，则 .

选取 ，并设 满足 ，即 ，

则 、 异号，从而 、 之中恰有一个为-1.

若 =-1，则2，矛盾;

若 =-1，则 ，矛盾.

所以x1=1. 10分

(3)[解法一]猜测 ，i=1, 2, , n. 12分

记 ，k=2, 3, , n.

先证明：若 具有性质P，则 也具有性质P.

任取 ， 、 .当 、 中出现-1时，显然有 满足 ;

当 且 时， 、 1.

因为 具有性质P，所以有 ， 、 ，使得 ，

从而 和 中有一个是-1，不妨设 =-1.

假设 且 ，则 .由 ，得 ，与

矛盾.所以 .从而 也具有性质P. 15分

现用数学归纳法证明： ，i=1, 2, , n.

当n=2时，结论显然成立;

假设n=k时， 有性质P，则 ，i=1, 2,

当n=k+1时，若 有性质P，则

也有性质P，所以 .

取 ，并设 满足 ，即 .由此可得s与t中有且只有一个为-1.

若 ，则1，不可能;

所以 ， ，又 ，所以 .

综上所述， ，i=1, 2, , n. 18分

[解法二]设 ， ，则 等价于 .

记 ，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于

原点对称. 14分

注意到-1是X中的唯一负数， 共有n-1个数，

所以 也只有n-1个数.

由于 ，已有n-1个数，对以下三角数阵

注意到 ，所以 ，从而数列的通项公式为

，k=1, 2, , n. 18分

【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义 具有性质 这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视.

28.【2012高考重庆理21】(本小题满分12分，(I)小问5分，(II)小问7分.)

设数列 的前 项和 满足 ，其中 .

(I)求证： 是首项为1的等比数列;

(II)若 ，求证： ，并给出等号成立的充要条件.

21、【答案】(1)证明：由 ，得 ，即 。

因 ，故 ，得 ，

又由题设条件知 ，

两式相减得 ，即 ，

由 ，知 ，因此

综上， 对所有 成立，从而 是首项为1，公比为 的等比数列。

(2)当 或 时，显然 ，等号成立。

设 ， 且 ，由(1)知， ， ，所以要证的不等式化为：

即证：

当 时，上面不等式的等号成立。

当 时， 与 ，( )同为负;

当 时， 与 ，( )同为正;

因此当 且 时，总有 ( )( )0,即

，( )。

上面不等式对 从1到 求和得，

由此得

综上，当 且 时，有 ，当且仅当 或 时等号成立。

29.【2012高考江西理16】(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和 ， ,且Sn的最大值为8.

(1)确定常数k，求an;

(2)求数列 的前n项和Tn。

【答案】解: (1)当 时， 取最大值，即 ，故 ，从而 ，又 ，所以

(1) 因为 ，

所以

【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用 来实现 与 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意 不能用来求解首项 ，首项 一般通过 来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.

30.【2012高考安徽理21】(本小题满分13分)

数列 满足：

(I)证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 ;

(II)求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。

【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。

【解析】(I)必要条件

当 时， 数列 是单调递减数列。

充分条件

数列 是单调递减数列 ，

得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 。

(II)由(I)得： ，

①当 时， ，不合题意;

②当 时， ，

，

。

当 时， 与 同号，

由 ，

。

当 时，存在 ，使 与 异号，与数列 是单调递减数列矛盾，

得：当 时，数列 是单调递增数列。

31.【2012高考天津理18】(本小题满分13分)

已知 是等差数列，其前n项和为Sn， 是等比数列，且 ，

.

(Ⅰ)求数列 与 的通项公式;

(Ⅱ)记 ， ，证明 ( ).

【答案】

(1) 设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ;

则

得：

(2)

【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.

32.【2012高考湖南理19】(本小题满分12分)

已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)=a1+a2++an，B(n)=a2+a3++an+1，C(n)=a3+a4++an+2，n=1,2，

(1) 若a1=1，a2=5，且对任意nN﹡，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.

(2) 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列.

【答案】解(1)对任意 ,三个数 是等差数列，所以

即 亦即

故数列 是首项为1，公差为4的等差数列.于是

(Ⅱ)(1)必要性：若数列 是公比为q的等比数列，则对任意 ，有

由 知， 均大于0，于是

即 = = ，所以三个数 组成公比为 的等比数列.

(2)充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列，

则

，

于是 得 即

由 有 即 ，从而 .

因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

综上所述，数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意nN﹡，三个数 组成公比为 的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

33.【2012高考山东理20】本小题满分12分)

在等差数列 中， .

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前 项和 .

【答案】解：(Ⅰ)因为 是一个等差数列，

所以 ，即 .

所以，数列 的公差 ，

所以，

(Ⅱ)对 ，若 ，

则 ，因此 ，

故得 (lb ylfx)

于是

34.【2012高考全国卷理22】(本小题满分12分)(注意：在试卷上作答无效)

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.

(Ⅰ)证明：2 xn

(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.

解：(1)为 ，故点 在函数 的图像上，故由所给出的两点 ，可知，直线 斜率一定存在。故有

直线 的直线方程为 ，令 ，可求得

所以

下面用数学归纳法证明

当 时， ，满足

假设 时， 成立，则当 时， ，

由 即 也成立

综上可知 对任意正整数恒成立。

下面证明

由

由 ，故有 即

综上可知 恒成立。

(2)由 得到该数列的一个特征方程 即 ，解得 或

① ②

两式相除可得 ,而

故数列 是以 为首项以 为公比的等比数列

,故 。

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。

【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。