《考试大纲》的要求：

① 了解基本不等式的证明过程

② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题

(一)基础知识回顾：

1.定理1. 如果a,b ,那么 ，(当且仅当_______时，等号成立).

2.定理2(基本不等式)：如果a,b0,那么______________(当且仅当_______时，等号成立).

称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.

3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图

4.利用基本不等式求最大(小)值时，要注意的问题：(一正二定三相等)

即: (1)和、积中的每一个数都必须是正数;

(2)求积的最大值时，应看和是否为定值;求和的最小值时，应看积是否为定值，;

简记为：和定积最_____，积定和最______.

(3)只有等号能够成立时，才有最值。

(二)例题分析：

例1.(2006陕西文)设x、y为正数，则有(x+y)(1x+4y)的最小值为( )

A.15 B.12 C.9 D.6

例2.函数 的值域是_________________________.

例3(2001江西、陕西、天津文,全国文、理) 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小?

(三)基础训练：

1.设 且 则必有( )

(A) (B)

(C) (D)

2.(2004湖南理)设a0，则以下不等式中不恒成立的是( )

(A) 4 (B)

(C) (D)

3.(2001春招北京、内蒙、安徽文、理)若 为实数，且 ，则 的最小值是( )

(A)18 (B)6 (C) (D)

4. 已知a,b ,下列不等式中不正确的是( )

(A) (B)

(C) (D)

5.(2005福建文)下列结论正确的是( )

A.当 B.

C. 的最小值为2 D.当 无最大值

6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_____________.

7.若 且 则 中最小的一个是__________.

8.(2005北京春招文、理)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 (千辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间的函数关系为： 。

(1)在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?(精确到 千辆/小时)

(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内?

(四)拓展训练：

1.(2000全国、江西、天津、广东)若 ,P= ,Q= ,R= ,则( )

(A)R

2.若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。

参考答案

第04讲： 基本不等式

(二)例题分析： 例1. C; 例2. ;

例3解：设画面高为x cm，宽为x cm，则 x2 = 4840.

设纸张面积为S，有S = (x+16) ( x+10)= x2+(16+10) x+160，

将 代入上式，得 .

当 时，即 时，S取得最小值.

此时，高： ，宽： .

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.

(三)基础训练： 1. B; 2. B; 3. B; 4. B 5.B; 6. 2 ; 7.

8. 解：(Ⅰ)依题意，

(Ⅱ)由条件得

整理得v2-89v+16000, 即(v-25)(v-64)0, 解得25

答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.

(四)拓展训练：1. B;

2.解：因为a、b是正数，所以 ，即 ，

法一：令 ，则 ，由ab=a+b+32 +3，得 ，(t0)

解得t3, 即 ，所以ab9,a+b=ab-36.

法二：令 ，则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，(x0)

整理得 ，又x0，解得x6,即a+b6，所以ab=a+b+39.

答： ab与a+b的取值范围分别是 与 。