函数名称出自数学家李善兰的著作《代数学》，下面是函数和不等式及导数的应用专题复习检测，请考生练习。

一、选择题

1.(2015全国卷Ⅱ)已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x-1)(x+2)0}，则AB=()

A.{-1，0} B.{0，1}

C.{-1，0，1} D.{0，1，2}

2.(2015全国卷Ⅰ)设命题p：nN，n22n，则綈p为()

A.nN，n22n B.nN，n22n

C.nN，n22n D.nN，n2=2n

3.(2015全国卷设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()

A.3 B.6 C.9 D.12

4.(2015山东高考)已知x，y满足约束条件若z=ax+y的最4，则a=()

A.3B.2C.-2D.-3

5.(2015全国卷Ⅱ)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x0时，xf(x)-f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()

A.(-，-1)(0，1)

B.(-1，0)(1，+)

C.(-，-1)(-1，0)

D.(01)(1，+)

6.(2015全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()

A. B.

C. D.

二、填空题

7.(2015全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则实数a=________.

8.(2015全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________.

9.(2015湖南高考)已知函数f(x)=若存在实数b，使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的取值范围是________.

三、解答题

10.(2015北京高考)已知函数f(x)=ln.

(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程;

(2)求证：当x(0，1)时，f(x)

(3)设实数k使得f(x)k对x(0，1)恒成立，求k的最大值.

11.(2015全国卷Ⅱ)设函数f(x)=emx+x2-mx.

(1)证明：f(x)在(-，0)单调递减，在(0，+)单调递增;

(2)若对于任意x1，x2[-1，1]，都有|f(x1)-f(x2)|e-1，求m的取值范围.

12.(2015全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=x3+ax+，g(x)=-ln x.

(1)当a为何值时，x轴为曲线y=fx)的切线;

(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x0)，讨论h(x)零点的个数.

1.A [由A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x-1)(x+2)0}={x|-22n改为n22n，

綈p为nN，n22n.]

3.C [∵f(-2)=1+log24=1+2=3，f(log212)=2log212-1=6.

f(-2)+f(log212)=3+6=9.]

4.B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A(2，0)，由得B(1，1).由z=ax+y，得y=-ax+z.当a=-2或a=-3时，z=ax+y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax=0，不满足题意，排除C，D选项;当a=2或3时，z=ax+y在A(2，0)处取得最大值，2a=4，a=2，排除A，只有B项满足.]

5.A [因为f(x)(xR)为奇函数，f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)=0.当x0时，令g(x)=，则g(x)为偶函数，且g(1)=g(-1)=0.当x0时，g(x)=0，故g(x)在(0，+)上为减函数，在(-，0)上为增函数.所以在(0，+)上，当0g(1)=00f(x)在(-，0)上，当x-1时，g(x)0.]

6.D [由题意可知存在唯一的整数x0，使得ex0(2x0-1)-时，g(x)0，所以当x=-时，[g(x)]min=-2e-.∵h(x)=a(x-1)恒过定点(1，0)，且g(1)=e0在同一坐标系中作出y=g(x)与y=h(x)的大致图象.结合图象，应有则解之得1.故实数a的取值范围是.]

7.1 [f(x)为偶函数，则ln(x+)为奇函数，所以ln(x+)+ln(-x+)=0，即ln(a+x2-x2)=0，则ln a=0，a=1.]

8.3 [作出不等式组表示的平面区域(如图)，易知的最大值为kOA=3.]

9.(-，0)(1，+) [若01时，函数f(x)=在R上递增，其与直线y=b至多有一个公共点，若a1或a0时，由图象知y=f(x)-b存在b使之有两个零点，故a(-，0)(1，+).]

10.(1)解 因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，

f(x)=+，f(0)=2.

又因为f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x.

(2)证明 令g(x)=f(x)-2，

则g(x)=f(x)-2(1+x2)=.

因为g(x)0(0g(0)=0，x(0，1)，

即当x(0，1)时，f(x)2.

(3)解 由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0，1)恒成立.

当k2时，令h(x)=f(x)-k，

则h(x)=f(x)-k(1+x2)=.

所以当02时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立.

综上可知，k的最大值为2.

11.(1)证明 f(x)=m(emx-1)+2x.

m0，则当x(-，0)时，emx-10，f(x)当x(0，+)时，emx-10，f(x)0.

若m0，则当x(-，0)时，emx-10，f(x)当x(0，+)时，emx-10，f(x)0.

所以，f(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增.

(2)解 由(1)知，对任意的m，f(x)在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x=0处取得

所以对于任意x1，x2[-1，1]时，|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是即①

设函数g(t)=et-t-e+1，则g(t)=et-1.

当t0时，g(t)当t0g(t)0.故g(t)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增.

又g(1)=0，g(-1)=e-1+2-e0，故当t[-1，1]时，g(t)0.

当m[-1，1]时，g(m)0，g(-m)0，即①式成立;

当m1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即em-m

当m-1时，g(-m)0，即e-m+me-1.

综上，m的取值范围是[-1，1].

12.解1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)=0，

f(x0)=0.即解得

因此，当a=-时，x轴为曲线y=f(x)的切线.

(2)当x(1，+)时，g(x)=-ln x0，从而h(x)=

min{f(x)，g(x)}0，故h(x)在(1，+)上无零点.

当x=1时，若a-，

则f(1)=a+0，h(1)=

min{f(1)，g(1)}=g(1)=0，故x=1是h(x)的零点;

若a-，则f(1)0，h(1)=min{f(1)，g(1)}=f(1)0，故x=1不是h(x)的零点.当x(0，1)时，g(x)=-ln x0.

所以只需考虑f(x)在0，1)上的零点个数.

(ⅰ)若a-3或a0，则f(x)=3x2+a在(0，1)上无零点，故f(x)在(0，1)上单调.而f(0)=，f(1)=a+，所以当a-3时，f(x)在(0，1)上有一个零点;当a0时，f(x)在(0，1)上没有零点.

(ⅱ)若-30，即--或a-时，h(x)有一个零点;当a=-或a=-时，h(x)有两个零点;当-0，y0，

+=(2x+3y)

=(12+26)=8，

当且仅当3y=2x时取等号.

当x=且y=时，+取得最小值8.]

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