选题意图：这节课所选择的教学内容是利用二次函数知识解决动态几何中的最值问题，在初中数学里它既是重点，也是难点。由于对动态问题缺乏空间想象能力，初中学生普遍对动态几何问题感到头疼，而本课还牵涉到建立二次函数的数学模型，因此该内容的教学一直是个难点。本案例选择该内容作为教学内容，期望通过信息技术的手段，让学生感受图形动态变化的过程，培养同学的空间想象能力和分析解决问题的能力。在同一个老师所教的两个平行班级进行对比实验，通过教学过程和学生反馈等相关数据进行分析和研究实验效果。

案例焦点：信息技术对促进学生数学学习的研究。

教材分析：本节课是北师大版初中数学九年级(下)第二章《二次函数》第7节，在此之前，学生已学习了二次函数的图象和性质,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。在生活中、在几何里(特别是动态几何问题)，有大量的可以表示为二次函数或利用二次函数知识可以解决的实际问题，其中最值问题是其中重要的内容，也是初中数学重要的知识点。在历年的全国各地中考试题中，都有大量试题对该知识点进行考查，而且常常作为最后的压轴题出现。

学校及学生状况分析：重庆外国语学校是全国首批创办的八所外国语学校之一，重庆市教委七所直属重点中学之一，全国享受20%保送名额的十三所外国语学校之一，学生来自全国各地，素质普遍较高。本节课是在初三IB班(国际文凭实验班)进行教学，该班实行小班教学，共28人，学生的数学学习兴趣比较浓，但数学建模能力还有待提高。

学习目标：

认知目标：能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，掌握并运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值，经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。

能力目标;经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验，了解信息技术在数学学习中的辅助作用。

情感目标：设置丰富的问题情景与动手机会，激发学生的好奇心和自动学习的欲望，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生形成个人解决问题的风格，体验数学的广泛联系和实际价值，通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力。

创新素质目标：本课创新之处是使用Z+Z智能教育平台展示几何图形的变化过程，从其动态性和智能性中感受做数学的乐趣，体验信息技术对数学学习的促进作用。

重点分析：①回顾并掌握二次函数最值的求法，要求学生能应用基本结论的同时掌握配方法。②理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出其二次函数的数学模型。

难点分析：从几何背景及实际情景中抽象出函数模型。

教法分析：运用多种教学方法，展现获取知识和方法的思维过程，既有老师的讲解，又有学生动手实做、探索、师生共做、学生小组合作等。

学法分析：以学生为主体，老师为主导，基于本节课的特点，应着重采用先做后说，师生共做的学习方法。

数学思想方法分析：本节课在教学中向学生渗透的数学思想主要有：数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想等。

教具：采用多媒体教学(主要用超级画板进行展示)。

学具：剪刀、白纸、刻度尺等。

教学版块设计：本节课我将按以下四个环节来完成教学

(一)设置情景，导入新课( 5分钟)

(二)例题讲解，探究创新(20分钟)

(三)举一反三，能力迁移(10分钟)

(四)归纳小结，体验感受( 5分钟)

这种分法环环紧扣，层层递进，过渡自然，有利于教法、学法的实施，教学目标的实现，能帮助学生掌握相应的知识点，提高效率，活跃课堂气氛。

教学过程：

(一) 设置情景，导入新课

设计意图：通过几个实际情景设置悬念，引入新课，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此首先和同学们一起复习二次函数最值的求法，对于一般式，要求掌握配方法的同时，也能利用基本结论，对于顶点式，要求能直接说出其最值及取得最值时自变量的值。

(通过图片及动画展示问题情景)在生活中我们常常会遇到下面的一些问题。

情景一：(大家经常在路边、在闹市区都会看到很多的广告牌，一个是抗击非典的，我们刚好在那年跨进初中的大门，一个是重庆江北的广告牌。大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?现在一个广告公司接到了一笔业务。)

某广告公司设计一块周长为12米的矩形广告牌，由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，你能否设计一个面积最大的广告牌。(展示动画)

问：①在矩形变化过程中周长不变，面积变化了没有?②面积是随着什么的变化而变化?

情景二：(窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星)

某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有粗线的长度和)是21米，怎样设计窗户才能使窗户通过的光线最多?

情景三：(随着经济和人口的发展，城市用地已经越来越少了，黄金地段更是寸土寸金，所以有效利用土地资源极具研究价值)

某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少?(即考虑对任意一个三角形的情形)

问：以以上三个问题有没有共同的地方?

学生：都是求面积最大值的问题。

老师：要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问题。这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题。

(二)例题讲解，探究创新

设计意图：展示教材上的例题，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时对例题进行变式，训练学生的发散思维能力，选取的练习题也是教材上的，目的是让同学回归教材，落实基础，不能好高骛远。例题的讲解关键是教会学生入手，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题。

在例题讲解时和传统讲法有所区别的是我们将借助于Z+Z智能教育平台把题目中的条件用动态的形式展示出来，在变化的过程中理解题意，同时把变换过程中的变量关系转化为函数图象，让同学们能直观地理解面积和所设变量之间的关系并解决问题。需要说明的是我们并非是要达到非用平台不可的目的(不然有人会认为没有这个平台怎么办?)，而是让学生能更深入地理解解决问题的基本思路和方法，更透彻地掌握所学的基本知识，并体验信息技术对学习的辅助作用。

1. 用Z+Z课件展示开始的问题情景，设置动画，不显示字母和任何数据，让学生感受变化过程。

问题1：在运动变化过程中，有哪些量发生了变化?

2. 显示字母并演示变化过程。

问题2：长方形OABC的面积是随着哪些量的变化而变化?

学生普遍回答的应该是随长和宽的变化而变化，也许还会回答有其他量，只要合理都给予肯定，最终都引导回长和宽。

问题3：在变化过程中，如果让你设一个变量为x，你会设哪一个?

问题4：如果设OA=x，你能用x来表示出OC的长度吗?

这是本题第一个重点解决的问题，要求学生通过思考和计算后回答，在回答这个问题的时候，要注意和同学一起总结相似在解决类似问题中的作用。同时提醒学生注意x的范围。

(课件友情提示：①相似是解决动态几何问题的有力工具;②在实际问题中注意自变量x的取值范围。)

3. 给出OD和OE的数据并演示变化过程。

问题5：你认为长方形OABC的面积有没有最大值?如果你认为有，那么你猜想一下当点B运动到什么位置时取得最大值?最大值可能是多少?

4.我们设长方形OABC的面积为y，请同学们把y表示为x的函数。

有了前面的铺垫，同学们应该很容易计算出y和x之间的二次函数关系。

5.请同学们用学过的二次函数知识计算出面积的最大值。

6.用Z+Z显示点B在DE上运动时x的值和相应的长方形面积，同时把二者的关系转化为动点，其轨迹即是x和y之间的函数图象。并单独演示取得最大值时的图形。

变式一：

在上面的问题中，如果设OC=xm，那么问题的结果又会怎样?

①如果设OC=x cm,通过条件把OA用x表示出来。

②设矩形OABC的面积为y cm2，把y用x表示出来。

③在上面的表达式中，自变量x的取值范围是什么?

④用你熟悉的方法求出y的最大值。

变式二(问题探究)：

探究1：如果我们要在该直角三角形铁皮中剪下一个面积最大的长方形，你认为怎样剪下的长方形面积最大?(考虑利用旋转功能把三角形摆放到学生熟悉的位置)

即把长方形改成如图所示的位置，其它条件不变。设长方形ABCD的长AB=x m，宽AD=a m，那么什么时候长方形的面积最大?最大面积是多少?

探究2：前面的例题和变式中得到的面积最大值是相同的，在任意一个直角三角形中，这样剪下来的长方形的最大面积也会一样吗?

分析：如果矩形的顶点在三角形内部，我们都可以把该矩形放大使得矩形的顶点在三角形的边上，故我们只需考虑前面两种情况，可得最大面积为.

探究3：有一块三角形土地，它的底边BC=100m，高AH=80m.某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少?(即考虑对任意一个三角形的情形)

(三) 举一反三，能力迁移

设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，让同学们借助于Z+Z深入浅出地对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的。

1.某广告公司设计一块周长为12米的矩形广告牌，由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，请你设计一个面积最大的广告牌。

2. 用12米长的方木，做一个有横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的长和高应各为多少米?

学生易错地方：学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范围;求最值时，只知代入顶点坐标公式，不考虑自变量范围。

(四) 归纳小结，体验感受

设计意图：完成教学任务后，让同学们进行小结和反思是很有必要的。课堂小结以学生总结为主，既可培养学生的表达能力，又能提高学生的自信心。作业的布置考虑了学生的个体差异，针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和减负的目的。

我设计了三个问题：

1.请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题。

2.本节课，你最深的感受是什么?

3.在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决?

布置作业：教材第63页习题第1、2题，

教学过程预期

本课展示了解决此类问题的基本思路理解问题分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系用数学的方式表示它们之间的关系做数学求解检验结果的合理性并进行应用拓展，知识与能力要求符合学生实际并体现新课程标准的基本理念。学程设计使学生不仅获得了书本上的知识，而且让学生了解信息技术对学习的辅助作用，完善了认知结构，拓展知识应用，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。设计的几个环节紧扣主题，课堂气氛活跃，学生积极主动地参与学习的全过程并在学法上有一定收获。让大多数学生能正确掌握知识，并能运用所学的知识解决简单的实际问题。老师及时进行课堂信息反馈，评价中肯且有激励作用，并能给学生创设二次评价的机会，帮助学生认识自我，建立信心。

新课程给数学带来的变化是更注重学习的过程(包括思维的过程、感受的过程)，更强调对数学的体验，以及数学学习的多样化等等，其实也就是更注重学生的数学综合能力的培养而非仅仅是解题的能力培养，Z+Z可以培养同学的数学学习兴趣，让同学能玩着学数学，同时又可以很智能而直观地诠释很多数学本质，把很多以前认为望尘莫及的事情在课堂上轻松完成，所以它给数学教学和学习带来的变化是显然的，随着Z+Z的发展，我们有理由相信，数学会被越来越多的人认为是好玩的学科。