1 说明

这是结合我校今年立项的浙江省教研课题《基于数学理解的初中数学教学的实践研究》而开设的一堂组内公开课，通过课后组内的激烈交流，现把课堂实录与设计说明及本人反思整理如下。

2 教学过程

2.1回顾复习

题组：选择题(选项A:平均数 B:中位数 C:众数)

①为了反映初二(4)班同学的平均年龄，应关注学生年龄的______。

②为了资金的迅速周转和减少商品库存积压，某手机销售商在进货时要关注各品牌手机销量的 ______ 。

③为了考察某同学在一次测验中数学成绩是占上等还是占下等水平，应关注这次数学成绩的______ 。

(学生很快完成)

师：请哪位同学小结一下平均数，中位数、众数的具体功能?

生1：平均数用来描述数据的平均水平，中位数用来描述数据的中等水平，众数用来描述数据的多数水平。

师：小结得很好，平均数、中位数、众数都属于集中量数，用来描述数据的集中趋势，它们有各自的用武之地，需要恰当的选择。

(知识整理，形成导图)

设计说明：在中学统计内容教学中有两类描述数据特征的概念：集中量数，如平均数、中位数、众数;另一类是差异量数，如方差、标准差。通过本堂课的学习，使学生构建描述数据特征的量的完整体系。新课内容前的复习旧知，正是为此作准备，并且为下个环节引发认知冲突，提出疑问作好铺垫。

2.2创设情境，引发认知冲突，提出疑问

题目：明明和白白两人参加投篮训练测试(每次测试有10次投篮机会)，近期的五次测试成绩如下表所示。

老师，我发现这些数据都是8，没有办法作出判断啊!

(其他同学遇到了同样的困惑)

设计说明：运用原有知识，产生认知冲突，激起学生学习的欲望。

师：我帮大家将这些数据画成了折线统计图，请大家仔细观察，继续回答这个问题。

(看了数据的统计图，学生好像恍然大悟，很多人同时举手)

生2：我觉得派明明去，因为他们平均分相同，就说明他们水平差不多，但是从折线统计图上看，明明成绩发挥要稳定得多。

(很多同学表示赞同)

师：还有没有不同的想法呢?

生3：我觉得派白白去，因为白白爆发力强，有得第一的希望。

(大家都点点头，表示赞同)

生4：我觉得要考虑参赛选手的整体竞争实力，如果整体实力一般，10个球能进8个已经稳能拿一等奖了，那么派明明去，他会发挥的很稳。如果整体实力很强，10个进9个以上才能拿到好名次，那么派白白去比较好，这样我们班得奖的机会比较大。

师：刚才生3分析的很全面。当平均数相同或相近的时候，我们要考虑数据围绕平均数上下波动的程度，也叫做一组数据与其平均数的离散程度。

那么，什么样的数能反映一组数据与其平均数的离散程度呢?

设计说明：通过设计有效的问题串

2.3探索新知，解决疑问

生5：方差

师：你是怎么知道的呢?

(学生都无语)

师：要求数据与平均数的离散程度(说的时候突出平均数)，我们是否可以直接将各数据与平均值的差进行累加?请同学们完成学案中的表1。

(单位：个)

(学生们很快就完成了)

师：能说明明明与白白的均差之和与他们成绩的稳定性有关吗?

(学生都说不行，因为均差之和都为0)

师：大家仔细观察刚才填写的表1，是什么原因导致了均差累加之和为0 ?

生6：出现了相反数，使得相加为0

生7：不全是相反数，是因为出现了负数，产生了抵消，使结果为0了

师：那么怎么样可以避免这种抵消呢?

(很快有同学举手)

生8：给每个数加个绝对值

师：很好，大家用这个办法完成学案中表2

(很多人脸上露出了喜色，急着就想回答自己的发现)

生9：明明和白白的均差绝对值之和分别是2和6，说明均差绝对值之和越小，与平均数的离散程度越小，这组数据越稳定，反之就越不稳定。

(没有得到回答机会的同学们都点着头表示赞同)

师：那还有没有其他方法呢?

(学生很是诧异，竟然还有其他方法，马上进入沉思中突然，有位同学叫出来，平方，同学们都觉得是啊)

师：大家用平方这个办法完成学案中表3

生10：这种方法可以，明明和白白均差的平方之和分别为2和14，数值越大，说明这组数据与平均值的离散程度就越大，数据就越不稳定，反之就越稳定。

(教师继续启发)

师：大家观察，刚才大家填写的表中，明明和白白的样本容量为多少?

生11：都为5

(教师追问)

师：样本容量如果不同，用刚才的方法还能否作出稳定性的判断?

(学生觉得困惑)

师：我把题目改一改，请大家完成下面这个题目

题目：考虑实际情况，如果一共进行了7次测试，明明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩更稳定，请填写学案中表4

生12：明明和白白均差平方之和分别为14和16，所以明明的成绩发挥稳定。

(很多同学好象都注意到了缺席，觉得问题可能没这么简单)

师：现在，它们的样本容量同吗?

生13：不同，分别是5和7

师：若白白第2次也缺席，那所求的和是7，不就马上变成白白稳定了吗?

(学生马上意识到样本容量不同，所得均差平方和不能直接用来比较两组数据的稳定性)

师：样本容量不同，显然不能直接作比较，那怎样给他们创设一个标准情况呢?

生14：求出它们的平均数

(学生中马上爆发出掌声，表示赞同)

生15：我已经算出来了，刚才算的均差平方之和的平均数分别为4.8和2.3,所以这时白白的成绩比较稳定。

师：当我们取均差绝对值时，是否也需要在标准情况下进行比较呢?

(马上有学生举手)

生16：需要，当两组数据样本容量不同时，会产生和用均差平方之和比较数据稳定性带来同样的不足。

师：我们把求均差绝对值之和的平均数称为平均差，求均差平方和的平均数称为方差。当数据很多，或者均差是小数的时候，方差公式有简化公式，可以给进一步统计分析带来方便，而平均差由于带有绝对值，给进一步统计分析带来了麻烦，是属于一种低效分析，所以我们今天重点来学习方差(板书课题方差)。方差用符号S2来表示。

设计说明：通过设置问题串，让学生不断的碰壁，不断的产生认知冲突，同时不断的启发引导，使学生体验方差概念得出的整个思维过程，促进学生对概念的清晰认识，理解数学的本质。

师：现在给你们1分钟时间，回忆整理刚刚探索方差公式的整个过程。

(有的学生同桌间在讨论，有的在书写记忆公式，有的在翻看数学教科书，都很认真)

(通过整理，形成导图)

设计说明：知识的学习有个内化的过程，适时留足时间让学生整理，可以调整不同学生的思维进度，理清知识发生发展的整个脉络，让更多的人对概念的得出产生认同感。知识整理，形成导图，促进学生所学知识系统化。

2.4 通过练习，进一步探索新知

师：大家利用方差说明表1中明明和白白测试成绩的稳定情况(写出详细过程)

(通过在学生中间巡视，我找了一位学生的作业进行实物投影)

解：∵

师：这是我们班一位同学做的，看一看他和你做的是不是一样?

生17：老师，他没下结论，算出来后，应该说明明明和白白的平均成绩相同，但是明明的测试成绩比白白的测试成绩要稳定

师：很好，写出分析过程后还要下结论。大家再仔细看看呢?

生18：我看出来了，他中间过程写反了

(所有学生仔细一看，都哈哈大笑，他把平均数和每次测试成绩换了下位置，但结果没变)

师：刚才这位同学很仔细，老师都没有看出来啊。我们再请这位同学指一指刚才改过来之后的方差式子中样本容量和平均数分别是多少?

生19：样本容量是5，平均数是8，求均差时每次减去的都是平均数

师：大家再看看，除了刚才这两个地方之外还有没有?

(学生困惑，看不出来还有错误)

师：大家看表1中各个数据的单位是什么?

生20：是个

师：那么，将这个单位代到方差公式，你会发现它是不是也应该有个单位?而且是怎样的呢?

生21：是啊，而且变成了平方啊

师：很好，我们就写成个2

(学生都觉得很新鲜，还有单位的平方啊)

师：我也这么觉得啊，那有什么办法让它与其他数据单位保持一致呢?

生齐答：开平方

师：那不是有两个，一正一负吗?

生22：开方取算术平方根啊

师：我们把方差的算术平方根称为标准差，这样，它的单位就和其他的数据单位统一起来了，有助于进一步统计分析。

师：同学们在前面练习的基础上，继续算出明明和白白的标准差，巩固新学概念。

(由学生们通过合作，类比方差，整理标准差的功能、公式、计算步骤、以及与方差的关系，形成导图)

设计说明：利用所学知识解决情景引入中的问题，巩固新学方差公式。通过实物投影展示学生作业，进一步提出问题，产生新的认知冲突，在学生解决问题的过程中，自然生成新的知识。

2.5学以致用，体验成功

题组1

1、在方差计算公式

中，数字10和20分别表示( )

A.数据的个数和方差

B.平均数和数据的个数

C.数据的个数和平均数

D.数据组的方差和平均数

2.比较甲、乙两名运动员一段时间内的测试成绩，下列情况中，能说明甲的成绩比较好的是()

3.我班在刚过去的10月份，每星期得到各类奖状数为2张,a张,3张,4张，平均每周得到3张，求出这组数据的方差和标准差?(写出过程)

设计说明：巩固新课内容，学会简单综合运用。

题组2

已知x1,x2,x3的方差是0.5，

(1)则x1+3,x2+3,x3+3的方差是 .

(2)则2x1,2x2,2x3的方差是 .

(3)则2x1+3,2x2+3,2x3+3的方差是 .

(4)若一组数据x1,x2, ,x n的方差为S2，则另一组数据kx1+a,kx2+a, ,kxn+a 的方差是 .

标准差是 .

设计说明：通过老师例举生活中这样的事实：现在我们班学生年龄的波动情况用方差来表示出来，等再过10年，我们班学生年龄的波动情况会变吗?等生活实际例子解释第(1)小题后，学生都表示理解，并且进行了代数的严密推理，学生感觉很好接受，后面3小题不断变化，层层递进，顺理成章。

2.6拓展延伸，促进理解

师：大家有没有发现方差的公式与方差的名称好象有点不般配?

(学生，开始思索!很快就笑起来，都说取名差方更合理啊)

师：是不是这样取也合理呢?事实上，对这批数据，，如果先平方得，，，再与平均作差得(+++)-n,是不是和我们前面得出来的的方差公式的值是一致的呢?

(学生开始迫不及待的进行验算)

生23：(兴奋的说)将我们前面的方差公式，运用完全平方公式展开、化简之后就是这个式子。

(在生23的引导下，很多同学都在小组合作中，通过化简发现它们是相等的)

师：看来取名方差还是有道理的，方差公式有两种表示方式。现在大家灵活运用方差公式，计算下列一组数据1，2，4，4，5的方差?

(学生发现：这组数据的平均数是2.8运用后来的公式计算方差方便多了)

设计说明：通过对方差名称的琢磨，再一次激起学生探究的欲望，通过验证，发现方差有其简化公式，并适时给出习题，体会方差简化公式在一些特殊数据处理中带来的简便。

2.7总结回顾，形成导图

(1)通过班级所有学生一起回顾、谈论本堂课的收获，形成本堂课导图

(2)将本堂课所学知识纳入整章思维导图