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中考数学专题：动态几何问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为 .动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动;动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动.设运动的时间为 (秒).

(1)当 时，求 的值;

(2)试探究： 为何值时， 为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】

解：(1)由题意知，当 、 运动到 秒时，如图①，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形.

∵ ， .

. (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)

. (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)

.解得 .

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解

【解析】

(2)分三种情况讨论：

① 当 时，如图②作 交 于 ，则有 即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)

∵ ，

② 当 时，如图③，过 作 于H.

则 ，

③ 当 时，

则 .

.

综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形.

【例2】在△ABC中，ACB=45.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.

(2)如果ABAC，如图②，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么?

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC= ， ，CD= ，求线段CP的长.(用含 的式子表示)

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个静止点，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：

(1)结论：CF与BD位置关系是垂直;

证明如下： AB=AC ，ACB=45，ABC=45.

由正方形ADEF得 AD=AF ，∵DAF=BAC =90，

DAB=FAC，△DAB≌△FAC ， ACF=ABD.

BCF=ACB+ACF= 90.即 CFBD.

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

(2)CFBD.(1)中结论成立.

理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG

可证：△GAD≌△CAF ACF=AGD=45

BCF=ACB+ACF= 90. 即CFBD

【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

(3)过点A作AQBC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，

∵BCA=45，可求出AQ= CQ=4. DQ=4-x，

易证△AQD∽△DCP， ， ，

.

②点D在线段BC延长线上运动时，

∵BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x.

过A作 交CB延长线于点G，则 . CFBD，

△AQD∽△DCP， ， ，

【例3】已知如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形.

(1)求证：梯形 是等腰梯形;

(2)动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变.设 求 与 的函数关系式;

(3)在(2)中，当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由.

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)证明：∵ 是等边三角形

∵ 是 中点

(2)解：在等边 中，

(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

∵

(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了给定PC=2，求△PQC形状的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。

(3)解： 为直角三角形

∵

当 取最小值时，

是 的中点， 而

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形 中， 为对角线 上一点，过 点作 交 于 ，连接 ， 为 中点，连接 .

(1)直接写出线段 与 的数量关系;

(2)将图1中 绕 点逆时针旋转 ，如图2所示，取 中点 ，连接 ，.

你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

(3)将图1中 绕 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

(1)

(2)(1)中结论没有发生变化，即 .

证明：连接 ，过 点作 于 ，与 的延长线交于 点.

在 与 中，

∵ ，

.

.

在 与 中，

∵ ，

.

在矩形 中，

在 与 中，

∵ ，

.

.

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢?如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。

(3)(1)中的结论仍然成立.

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B 处.

(1)当 =1 时，CF=______cm，

(2)当 =2 时，求sinDAB 的值;

(3)当 = x 时(点C与点E不重合)，请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程).

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

(1)CF= 6 cm; (延长之后一眼看出，EAZY)

(2)① 如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M，

∵ AB∥CF， △ABE∽△FCE， .

∵ =2， CF=3.

∵ AB∥CF，BAE=F.

又BAE=B AE， B AE=F. MA=MF.

设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k.

在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= . DM= .(设元求解是这类题型中比较重要的方法)

sinDAB

②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B E于点N，

同①可得NA=NE.

设NA=NE=m，则B N=12-m.

在Rt△AB N中，由勾股定理，得

m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= . B N= .

sinDAB= .

(3)①当点E在BC上时，y= ;

(所求△A B E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长)

②当点E在BC延长线上时，y= .

【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分 发散思考

【思考1】已知：如图(1)，射线 射线 ， 是它们的公垂线，点 、 分别在 、 上运动(点 与点 不重合、点 与点 不重合)， 是 边上的动点(点 与 、 不重合)，在运动过程中始终保持 ，且 .

(1)求证： ∽ ;

(2)如图(2)，当点 为 边的中点时，求证： ;

(3)设 ，请探究： 的周长是否与 值有关?若有关，请用含有 的代数式表示 的周长;若无关，请说明理由.

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若 PBC，

且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，

(1)当BP与BA重合时(如图1)，BPD=

(2)当BP在ABC的内部时(如图2)，求BPD的度数;

(3)当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形.

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢?留给大家思考一下~

【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB= .

点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN.

(1)当BO=AD时，求BP的长;

(2)点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况?若存在，请求出当BO为多长时BP=MN;若不存在，请说明理由;

(3)在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在 中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 得到线段EF(如图1)

(1)在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明;

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

(2)若AD=6,tanB= ,AE=1,在①的条件下，设CP1= ，S = ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

(1)证明：∵ ， . .

又∵ ， .

. ∽ .

(2)证明：如图，过点 作 ，交 于点 ，

∵ 是 的中点，容易证明 .

在 中，∵ ， .

.

.

(3)解： 的周长 ， .

设 ，则 .

∵ ， .即 .

.

由(1)知 ∽ ，

.

的周长 的周长 .

的周长与 值无关.

【思考2答案】

解：(1)BPD= 30

(2)如图8，连结CD.

解一：∵ 点D在PBC的平分线上，

2.

∵ △ABC是等边三角形，

BA=BC=AC，ACB= 60.

∵ BP=BA，

BP=BC.

∵ BD= BD，

△PBD≌△CBD.

BPD=3.- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分

∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，

△BCD≌△ACD.

.

BPD =30.

解二：∵ △ABC是等边三角形，

BA =BC=AC.

∵ DB=DA，

CD垂直平分AB.

.

∵ BP=BA，

BP=BC.

∵ 点D在PBC的平分线上，

△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.

BPD=3.

BPD =30.

(3)BPD= 30或 150 .

图形见图9、图10.

【思考3解析】

解：(1)过点A作AEBC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB= 得BE=3.

∵CDBC，AD//BC，BC=6，

AD=EC=BC-BE=3.

当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OHAB,则BH=HP

∵ ,BH= .

BP= .

(2)不存在BP=MN的情况-

假设BP=MN成立，

∵BP和MN为⊙O的弦，则必有BOP=DOC.

过P作PQBC，过点O作OHAB,

∵CDBC，则有△PQO∽△DOC-

设BO=x，则PO=x,由 ，得BH= ,

BP=2BH= .

BQ=BPcosB= ，PQ= .

OQ= .

∵△PQO∽△DOC， 即 ，得 .

当 时，BP= = 5=AB，与点P应在边AB上不符，

不存在BP=MN的情况.

(3)情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0

情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0

【思考4解析】

解：(1)①直线 与直线 的位置关系为互相垂直.

证明：如图1，设直线 与直线 的交点为 .

∵线段 分别绕点 逆时针旋转90依次得到线段 ，

②按题目要求所画图形见图1，直线 与直线 的位置关系为互相垂直.

(2)∵四边形 是平行四边形，

.

.

可得 .

由(1)可得四边形 为正方形.

.

①如图2，当 点在线段 的延长线上时，

∵ ，

.

.

②如图3，当 点在线段 上(不与 两点重合)时，

∵ ，

.

③当 点与 点重合时，即 时， 不存在.

综上所述， 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围是 或 .

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