2016年高考数学考点：椭圆的最值问题_考点解析

2016年高考数学考点：椭圆的最值问题 2016-03-16 收藏

一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值

例1. 已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。

分析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。

解：设点P(x，y)是椭圆上的一点，则由两点公式可知

当，即时，x取，

当，即时，，

点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。

例2. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A(4，1)，P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。

分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。

椭圆最值问题

解：设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”)，所以

=。

说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。

二. 利用椭圆的定义或几何性质求最值(取值范围)

例3. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。

分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。

解：由题设知设点，则有

化简得

由椭圆的几何性质知利用得，

解得

点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。

练一练：直线总有公共点，试求m的取值范围。

答案：

查看全部