韦达定理公式介绍及典型例题

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a

【定理内容】

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则

X1+X2= -b/a

X1·X2=c/a

1/X1+1/X2=X1+X2/X1·X2

用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)中，

若b²-4ac<0 则方程没有实数根

若b²-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b²-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

【定理拓展】

(1)若两根互为相反数，则b=0

(2)若两根互为倒数，则a=c

(3)若一根为0，则c=0

(4)若一根为1，则a+b+c=0

(5)若一根为-1，则a-b+c=0

(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根

【例题】

已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2.由韦达定理，得

x1+x2=-p，x1x2=q.

于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198，

即x1·x2-x1-x2+1=199.

∴运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199.

注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，

解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.