二项式定理给出两个数之和的整数次幂诸如 展开为类似 项之和的恒等式，以下是二项式定理同步检测，请考生及时练习。

1.二项式6的展开式中的常数项是()

A.20 B.-20

C.160 D.-160

解析 二项式(2x-)6的展开式的通项是Tr+1=C(2x)6-rr=C26-r(-1)rx6-2r.令6-2r=0，得r=3，因此二项式(2x-)6的展开式中的常数项是C26-3(-1)3=-160.

答案 D

2.若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为().

A.6 B.10 C.12 D.15

解析 Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx，当r=4时，=0，又nN*，n=12.

答案 C

3.已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是().

A.28 B.38 C.1或38 D.1或28

解析 由题意知C(-a)4=1 120，解得a=2，令x=1，得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.

答案

4.设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为().

A.-150 B.150 C.300 D.-300

解析 由已知条件4n-2n=240，解得n=4，

Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-，

令4-=1，得r=2，T3=150x.

答案 B

.设aZ，且013，若512 012+a能被13整除，则a=().

A.0 B.1 C.11 D.12

解析 512 012+a=(134-1)2 012+a被13整除余1+a，结合选项可得a=12时，512 012+a能被13整除.

答案 D.已知00)与y=|logax|的大致图象如图所示，所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11，所以a1=-2+C=-2+11=9.

答案 B

二、填空题

. 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示).

解析 Tr+1=Cx18-rr=(-1)rCrx18-r，令18-r=15，解得r=2.所以所求系数为(-1)2C2=17.

答案 17

.已知(1+x+x2)n的展开式中没有常数项，nN*且28，则n=________.

解析 n展开式中的通项为

Tr+1=Cxn-rr

=Cxn-4r(r=0,1,2，，8)，

将n=2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知

n=5.

答案 n=5

.若(cos+x)5的展开式中x3的系数为2，则sin=________.

解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2=2，cos2=，故sin=cos2=2cos2-1=-.

- .设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B=4A，则a的值是________.

解析 由Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r，

得B=C(-a)4，A=C(-a)2，B=4A，a0，a=2.

答案 2三、解答题

.已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.

(1)求n;(2)求展开式中的常数项.

解 (1)由题意，得C+C+C++C=256，即2n=256，解得n=8.

(2)该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C()8-rr=Cx，令=0，得r=2，此时，常数项为T3=C=28.

.已知等差数列2,5,8，与等比数列2,4,8，，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式.

等差数列2,5,8，的通项公式为an=3n-1，

等比数列2,4,8，的通项公式为bk =2k ，令3n-1=2k ，nN*，k N*，

即n==

=，

当k =2m-1时，mN*，

n=N*，

Cn=b2n-1=22n-1(nN*).

.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值.

解 5的展开式的通项为Tr+1=C5-rr=5-rCx，令20-5r=0，得r=4，故常数项T5=C=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n=16，得n=4.由二项式系数的性质知，(a2+1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4=54，解得a=.

.已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数;

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.

解 (1)C+C=2C，n2-21n+98=0.

n=7或n=14，

当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

T4的系数为C423=，

T5的系数为C324=70，

当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

T8的系数为C727=3 432.

(2)C+C+C=79，n2+n-156=0.

n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大，

12=12(1+4x)12，

9.410.4，k=10.

展开式中系数最大的项为T11，

T11=C2210x10=16 896x1

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