2015届高三数学一模理科试题（附答案）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集 ，集合 ，则

A. B. C. D.

2.已知 是虚数单位，则在复平面中复数 对应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则

A. B. C. D.

4.设 ，则 是 的

A.充分不必要条件B. 必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知两个不同的平面 和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：

①若 ;②若 ;

③若 ;④若 .

其中正确命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

6.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象

A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度

7. 已知双曲线 的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是

A. B. C. D.

8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两 人至少有一 人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为

A.360B.520C.600D.720

9.设函数 若 ，则关于 的方程 的解的个数为

A.4B.3C.2D.1

10.已知向量 的夹角为 时取得最小值，当 时，夹角 的取值范围为

A. B. C. D.

第II卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..

11.若 对任意的 恒成立，则实数k的取值范围为_________.

12.如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.

13.已知圆C过点 ，且圆心在 轴的负半轴上，直线 被该圆所截得的弦长为 ，则圆C的标准方程为________________.]

14.定义： ，在区域 内任取一点 的概率为__________.

15.已知 恒成立，则实数m的取值范围是_______.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，且 ..

(I)求 的值;

(II)若 面积的最大值.

17.(本小题满分12分)

如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形， 平面ABCD， 平面ABCD，且

(I)在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明;

(II)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值

18.(本小题满分12分)

某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮 考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确 回答第一、二 、三轮的问题的概率分别为 ，且各轮问题能否正确回答互不影响。

(I)求该同学被淘汰的概率;

(II)该同 学在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.

1 9.(本小题满分12分)

设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有 ，其中 为数列. 的前n项和.

(I)求数列 的通项公式;

(II)设 ( 为非零整数， )，试确定 的值，使得对任意 ;都有 成立.

20.(本小题满分13分)

已知椭圆 过点 ，且长轴长等于4.

(I)求椭圆C的方程;

(II) 是椭圆C的两个焦点， O是以 为直径的圆，直线 O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若 ，求k的值.

21.(本小题满分14分)

已知函数 的切线方程为 .

(I)求函数 的解析式;

(II)设 ，求证： 上恒成立;

(III)已知 .

2012级高三一模数学(理)参考答案及评分标准

(Ⅱ)∵b=2 ，由 可知， ，

即 ， ，8分

∵ ， 10分

.

△ ABC面积的最大值为 .12分

17、(Ⅰ)当 时，有 //平面AMD.

证明：∵MD 平面ABCD，NB 平面ABCD，MD//NB，2分

，又 ， ，4分

在 中，OP//AM，

又 面AMD，AM 面AMD， // 面AMD.6分

(Ⅱ)解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,0,2)N(2,2,1)， =(0,-2,2)， =(2,0,1)， =(0,2,0)，7分

设平面CMN的法向量为 =( x,y,z)则 ， ，

=(1,-2,-2).9分

又NB 平面ABCD，NB DC，BC DC，DC 平面BNC，平面BNC的法向量为 = =(0,2,0)，11分

设所求锐二面角为 ，则 .12分

12分

19、解：(Ⅰ)∵ 时， ，①

当 时， ，②2分

由①-②得，

即 ，∵ ，4分

由已知得，当 时， ， .5分

故数列 是首项为1，公差为1的等差数列. . 6分

(Ⅱ)∵ ， ,7分

.

要使得 恒成立,只须 . 8分

(1)当 为奇数时,即 恒成立.又 的最小值为 , . 9分

(2)当 为偶数时,即 恒成立.又 的最大值为 , 10分

由(1),(2)得 ,又 且 为整数,11分

对所 有的 ,都有 成立. 12分

10分

11分

∵ ， .12分

∵ ， ， ，得k的值为 .13分

20、解：(Ⅰ)将 代入切线方程得 ， ，2分

化简得 . ，4分 ，

解得： . . 6分

(Ⅱ)由已知得 在 上恒成立，

化简 ，即 在 上恒成立.7分

设 ， ， 8分

∵ ，即 ，9分

在 上单调递增， ， 在 上恒成立 .10分

(Ⅲ)∵ ， ，由(Ⅱ)知有 ， 12分

整理得 ，当 时， . 14分

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