选择题部分(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知全集 ,集合 , 若 ，则 等于( )

A. B. C. 或 D. 或

2. 已知 是实数， 是纯虚数，则 =( )

A. B. C. D.

3.已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式为( )

A. B.

C. D.

4.有关命题的说法中正确的是( )

A.命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”;

B.命题“若 ，则 ”的 形式是“若 ，则 ”;

C.若 为真命题，则 、 至少有一个为真命题;

D.对于命题 存在 ，使得 ，则 对任意 ，均有 。

5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩

形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( )

6.若对正数 ，不等式 都成立，则 的最小值为( )

A. B. C. D.

7.已知 的三内角 、 、 所对边长分别为是 、 、 ，设向量 ， ，若 ，则角 的大小为( )

A. B. C. D.

8.已知各项均为正数的的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公比 等于( )

A. B. C. 或 D.

9.定义在R上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数， 是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )

A. B.

C. D.

10.点 是函数 的图象上任意一点，则点 到直线 的最小距离是 .

A. B. C. D.

非选择题部分(共100分)

注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.

2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知向量 ，若 ，则 .

12.设数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,则 .

13.一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与

底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中

俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 .

14.在数列 中, ,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素 ,( )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 。

15.在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定，若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为 .

16.“无字证明”(proofs without words)就是

将数学命题用简单、有创意而且易于理解的

几何图形来呈现。请利用图1、图2中大矩

形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验

证的一个三角恒等变换公式： .

17.已知函数 ，给出下列五个说法：

① ;②若 ，则 ;③ 在区间 上单调递增; ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象;⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .

三、解答题(本大题包括6个小题，共75分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题12分)

已知函数 ， .

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若 ， ，求 。

19.(本小题满分12分)

铁矿石 和 的含铁率为 ，冶炼每万吨铁矿石 的排放量 及每万吨铁矿石的价格 如表：

(万吨) (万元)

50% 1 300

70% 0.5 600

某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求 的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用是多少?

20.(本小题13分)

如图4，在四棱锥 中，底面 为菱形，其中 ， ， 为 的中点.

(Ⅰ) 求证： ;

(Ⅱ) 若平面 平面 ，且 为

的中点，求四棱锥 的体积.

21.(本小题满分14分)

若数列 的前 项和为 ，对任意正整数 都有 ，记

(Ⅰ)求 , 的值;

(Ⅱ)求数列 的通项公式;

(Ⅲ)若 求证：对任意 .

22.(本小题满分14分)已知 ， 是实数，函数 ， ， 和 分别是 ， 的导函数，若 在区间 上恒成立，则称 和 在区间 上单调性一致.

(Ⅰ)设 ，若函数 和 在区间 上单调性一致，求实数 的取值范围;

(Ⅱ)设 且 ，若函数 和 在以 ， 为端点的开区间上单调性一致，求 的最大值.

参考答案

1.答案：D解析：由题意知 ，欲使 ，则 或 。

2.答案：B解析： 是纯虚数，所以 。

3.答案：C解析：，当 时， ，当 时， 。

4.答案：D解析：对于A：逆否命题是“若 ，则 ”，对于B：非 形式不是将条件和结论都同时进行否定;对于C：( )或( )为真命题，其否定形式“ 且 ”为假命题，则 、 至少有一个为假命题;对于D是正确的。

5.答案：D解析：由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的一个正三棱柱，底面三角形的高为 ，底面边长为 。

6.答案：D解析：因为 ，所以 可以化为 ，由基本不等式的性质得：

，即 的最小值为 。

7.答案：A解析：因为 ，所以 ，根据正弦定理，上式可化为 ，所以 ，所以 .

8.答案：B解析：由题意可知 ，即 ，消去 的 ，解得 或者 ，又数列各项均为正数，所以 应舍去。

9.答案：D解析：由题意可知，函数 周期为2，所以函数在 上为减函数，又因为是偶函数，所以在 内为增函数，而 ，则 ，所以 。

10.答案：B 解析：由几何特征知，点 是切点时，距离最小，设 ，由 ，解得 ( 舍去)，即切点是 ，所以 = 。

11.答案： 解析： ，算得 。

12.答案：15解析：依题意就是求一个公比为2的等比数列的前四项。

13.答案： 解析：设底面的等腰直角三角形的腰长为 ，则侧棱长也为 ，则 ，解得 ，则其侧视图是一个长为 ，宽为 的矩形，其对角线长为 。

14.答案：18解析： ，( ),所以只需找 的数值的个数即可，最大为 ，最小为 。

15.答案：3 解析：先画出D所表示的区域，见右图 ， ，因为 ，故只需找出 在 方向上

投影的最大值即可，取与 垂直的直线平移得到当

与 重合时复合题意，所以 。

16.解析：两个图的阴影部分面积相等，左边大矩形面积为：

，减去四个小直角三角形的面积得： ，右边图中阴影部分面积等于： 。

17.答案：①④【解析】 .①正确， ;②错误：由 ，知 或 ;③错误：令 ，得 ，由复合函数性质知 在每一个闭区间 上单调递增，但 ，故函数 在 上不是单调函数;④正确：将函数 的图象向右平移 个单位可得到 ;⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足 ，解得 ，即对称中心坐标为 ，则点 不是其对称中心。

18.解析：(Ⅰ) ;

(Ⅱ) ，且 ，所以 ，

19.解析：可设需购买 矿石 万吨， 矿石 万吨，则根据题意得约束条件： ，目标函数为 ，作图可知在点 处目标函数去的最小值，最小值为 万元。

答：购买铁矿石的最少费用是1500万元。

20.解析：解：(Ⅰ) ， 为中点， …………1分

连 ，在 中， ， ， 为等边三角形，

为 的中点， , …………2分

, 平面 , 平面 ,

(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3分

平面 . …………4分

(Ⅱ)连接 ,作 于 . …………5分

, 平面 ,

平面 平面ABCD ,

平面 平面ABCD，

, …………6分

,

…………7分

. …………8分

, …………9分

又 , . …………10分

在菱形 中， ,

方法一: , …………11分

. …………12分

. …………13分

方法二:

， …………11分

, …………12分

…………14分

21.解：(Ⅰ)由 ，得 ，解得 . …………1分

，得 ，解得 . …………3分

(Ⅱ)由 ……①，

当 时，有 ……②， …………4分

①-②得： ，…………5分

数列 是首项 ，公比 的等比数列…………6分

，…………7分

.…………8分

(Ⅲ) ，

， ……(1)

， ……(2)

…………，

，

， …………( )…………9分

(1)+(2)+ ……+( )得 ， ……10分

， ，当 时， 也满足上式，

所以 …………11分

，…………12分

，…………13分

， 对任意 均成立.…………14分

22.解析：由已知，f '(x)=3x2+a，g'(x)=2x+b，a，bR;

(Ⅰ)由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)0在区间[-1,+)上恒成立，即 (3x2+a)(2x+b)0在区间[-1,+)上恒成立，因为a>0，所以，3x2+a>0，所以，2x+b0在区间[-1,+)上恒成立，

即，b-2x在区间[-1,+)上恒成立，而y=-2x在[-1,+)上最大值ymax=-2(-1)=2，

所以，b2，即b[2,+);

(Ⅱ)由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)0在以a，b为端点的开区间上恒成立，即 (3x2+a)(2x+b)0在以a，b为端点的开区间上恒成立，因a<0，所以，由(3x2+a)(2x+b)=0，得x1=--a3，x2=-a3，x3=-b2;

①若b>0，则开区间为(a,b)，取x=0，由f '(0)g'(0)=ab<0知，f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致，不符合题设;

②若b0，因x2，x3均为非负，故不在以a，b为端点的开区间内;所以，只有x1可能在区间上;

由f '(x)g'(x)0在以a，b为端点的区间上恒成立，知x1=--a3要么不小于a，b中的大者，要么不大于a，b中的小者;因为a，b都不大于0，所以，(2x+b)0，所以，由f '(x)g'(x) 0知(3x2+a)0，所以--a3x0;

当0>a>b--a3时，由f '(x)g'(x)0在区间(b,a)上恒成立，即(3x2+a)(2x+b)0在区间(b,a)上恒成立，知|a-b|最大值为|a+-a3|，而由a>--a3解得a>-13;此时，|a+-a3|=|-(-a)2+13-a|，配方后知，取不到最大值;

当0b>a--a3时，显然，此时，当b=0，a=--a3，即b=0，a=-13时，|a-b|取得最大值|0-(-13)|=13;综上，|a-b|的最大值为13。