湖北2015届高三数学上期第二次月考试卷(理有答案)

选择题部分(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知全集 ,集合 , 若 ，则 等于( )

A. B. C. 或 D. 或

2. 已知 是实数， 是纯虚数，则 =( )

A. B. C. D.

3.有关命题的说法中正确的是( )

A.命题若 ，则 的逆否命题为若 ，则

B.命题若 ，则 的 形式是若 ，则

C.若 为真命题，则 、 至少有一个为真命题;

D.对于命题 存在 ，使得 ，则 对任意 ，均有 。

4.函数 具有如下性质： ，则函数 ()

A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数

5.已知 的三内角 、 、 所对边长分别为是 、 、 ，设向量 ， ，若 ，则角 的大小为( )

A. B. C. D.

6.若 ,则函数 的两个零点分别位于( )

A. 和 内 B. 和 内

C. 和 内 D. 和 内

7. 已知函数 的图象如图所示，则函数 的图像可能是( )

8.定义在R上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数， 是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )

A. B.

C. D.

9.已知函数 则下列结论正确的( )

A. 在 上恰有一个零点 B. 在 上恰有两个零点

C. 在 上恰有一个零点 D. 在 上恰有两个零点

10.已知函数 若存在 ，使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( )

A. B. C. D.

非选择题部分(共100分)

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知 ， ，那么 = .

12.已知向量 ，若 ，则 .

13.在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定，若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为 .

14.求方程 的解有如下解题思路：设 ，则 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路，方程 的解集为 .

15.给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为： .

○1已知等差数列 的前 项和为 ， ， 为不共线向量，又 ，若 、 、 三点共线，则 ;○2 是函数 的最小正周期为4的充要条件;○3设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 ;○4已知函数 ，若 ，且 ，则动点 到直线 的距离的最小值为1.

三、解答题(本大题包括6个小题，共75分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题12分)已知函数 ， .

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若 ， ，求 。

17.(本小题12分)已知 函数 在 内有且仅有一个零点;命题 在区间 内恒成立。若命题 是假命题，求实数 的取值范围。

18.(本小题12分)已知向量 ， (其中 )，函数 ，若 相邻两对称轴间的距离为 。

(Ⅰ)求 的值，并求 的最大值及相应的 的集合;

(Ⅱ)在 中， 、 、 分别是 、 、 所对的边， 的面积 ， ，求边 的长。

19.(本小题12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本 (万元)与处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

(Ⅰ)当 时，判断该技术改进能否获利?如果能获利，求出最大利润;如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损?

(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少?

20.(本小题满分13分)如图,在等腰直角三角形

中, , ,点 在线段 上。

(Ⅰ)若 ，求 的长;

(Ⅱ)若点 在线段 上,且 ;

问：当 取何值时, 的面积最小?并求出面积的最小值.

21.(本小题满分14分)

已知函数 .

(Ⅰ)若 ，讨论 的单调性;

(Ⅱ)当 时，若 恒成立，求满足条件的正整数 的值;

(Ⅲ)求证： .

参考答案

1.答案：D解析：由题意知 ，欲使 ，则 或 。

2.答案：B解析： 是纯虚数，所以 。

3.答案：D解析：对于A：逆否命题是若 ，则 ，对于B：非 形式不是将条件和结论都同时进行否定;对于C： 为真命题，其否定形式 且 为假命题，则 、 至少有一个为假命题;对于D是正确的。

4.答案：B解析：由题意可知 ，故 是一个偶函数。

5.答案：A解析：因为 ，所以 ，根据正弦定理，上式可化为 ，所以 ，所以 .

6.答案：A解析： ， ， ，这是一个二次函数。

7.答案：C解析：由图可知周期扩大，所以 ，而且 ，所以 为减函数，而且定义域为 。

8.答案：D解析：由题意可知，函数 周期为2，所以函数在 上为减函数，又因为是偶函数，所以在 内为增函数，而 ，则 ，所以 。

9.答案：C解析：可以求得 ，令 得

，分析可以知道左边是一个偶函数，右边是一个奇函数，且左边比右边多一项，即 时总有 ， 为增函数，且 ，排除选项A和B，当 时，依然有 ， 为增函数， 。

10.答案：B解析：方程 等价于 ，故本题等价于函数 和函数 有三个交点，分 和 两种情形画出 的图像， 是一组斜率为 的直线，欲使两函数有三个交点，则必位于切线和过点 的直线之间的所有直线。经计算可得。

11.答案： 解析：由题意可知 ，所以 。

12.答案： 解析： ，算得 。

13.答案：3解析：先画出D所表示的区域，见右图 ， ，因为 ，故只需找出 在 方向

上投影的最大值即可，取与 垂直的直线平移得到

当 与 重合时复合题意，所以

。

14.答案：{﹣1，2}解析：构造函数 ，是一个奇函数，且为增函数，由方程 得 ，解得答案：{﹣1，2}。

15.答案：○1○3解析：○1中，由于 、 、 三点共线，所以 中的 ， ;○2中， ，而函数 的最小正周期为4等价于 ，所以不是充要条件，是充分不必要条件;○3函数 在区间 上是一个增函数，而且 是一个奇函数，令 ，所以○4根据函数 的图象，结合 ，且 ，可得 ，， ， ， ( )其图象为一段圆弧，由于弧 ( )到直线 的距离最小的点为 ，但弧不含点 ，故○4错误。

16.解析：(Ⅰ)

(Ⅱ) ，且 ，所以 ，

17.解析：对于 ，解得：

，解得 或 ，

端点值代入检验得： 或 ;

对于 令 ，则 ，解得 ;

因为命题 或 是假命题，所以 和 均为假命题，可得实数 的取值范围为： 。

18.解析：(Ⅰ)由题意得， ，化简得， ，

由周期为 可得， ，所以 ，即 ;

令 ，可得 ，即 ，取最大值时 的取值集合为 ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，所以 ，解得 ，

，又因为 ，计算得 ， 。

19.解析：(Ⅰ)当 时，设该工厂获利为 ，则

，所以当 时， ，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损;

(Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

(1)当 时， ，所以 ，因为 ，所以当 时， ， 为减函数;当 时， ， 为增函数，所以当 时， 取得极小值 。

(2)当 时， ，当且仅当 ，即 时， 取最小值 ，因为 ，所以当处理量为 吨时，每吨的平均处理成本最少。

20.解：(Ⅰ)在 中, , , , 由余弦定理得, , 得 , 解得 或 。

(Ⅱ)设 , , 在 中,由正弦定理,得 , 所以 , 同理

故

因为 , ,所以当 时, 的最大值为 ,此时 的面积取到最小值.即2 时, 的面积的最小值为 。

21.解析：(Ⅰ) ，

， 时 为常函数，不具有单调性。

时 ， 在 上单调递增;

(Ⅱ) 时 ， ，

，设 ，则 。因为此时 在 上单调递增可知当 时， ;当 时， ，

当 时， ;当 时， ，

当 时， ，

， ，即 ，所以 ， ， ， ，故正整数 的值为1、2或3。

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当 时， 恒成立，即 ， ， ，令 ，得

则 ( 暂时不放缩)

，

..........，

.

以上 个式子相加得：

所以 ，即

。

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