什么是教学难点？有学者认为，教学的难点一般是指教师较难讲清楚、学生较难理解或容易产生错误的知识内容。也有的学者认为，数学中的难点是指学生不易理解的知识，或不易掌握的技能技巧。按笔者的理解，教学难点可以从基础知识和基本技能两方面来确定，也就是学生不容易理解的概念、原理、定律法则、公式等知识可以认为是难点，对于那些应用基础知识去解决某些实际问题而感到困难，或是通过反复训练学生难以内化的知识也可以认为是难点。

需要说明的是，难点不一定是重点，重点也不一定是难点，而有些内容既是难点又是重点。难点要根据学生的实际水平来定，同样一个问题，在这个班级是难点，而在另一个班级则不一定是难点。

现代认知发展理论认为，学生认知结构的发展是在认识其新知识的过程中，伴着同化和顺应，使原有的认知结构不断再构的过程。

从认知发展理论来分析，在教学时，如果所学习的内容能通过学生的思考把外在的信息纳入到已有的认知结构中，从而丰富和加强已有的思维倾向和行为模式，这样的学习内容学生容易理解。如果所学的内容与学生已有的认知结构与新的信息产生冲突，引起原有认知结构的调整，需要建立新的认知结构，这种通过顺应而建立新的认知结构的知识则比较困难。因为认知结构本身也有一种定式，这种定式的消极作用会阻碍认知的飞跃，从而造成学习新知识的困难，形成教学难点。因此，教学难点在一定程度上决定于作为认识客体的教材内容，然而它还决定于作为认识主体的学生和指导主体认识客体而在教学中起主导作用的教师，即决定于教师、学生的素质和能力。

当然，在同一个内容的学习过程中，同化和顺应往往同时进行，难以截然分开。由于学生个体数学认知结构的差异，教学难点的形成也必然存在差异，在实际操作时，要根据学生的实际水平来灵活确定教学难点。

1启发讲解法。就是对学生不容易理解的知识，教师有必要进行有意义的“讲”。要特别注意的是，这里的“讲”不是“灌输”，而是“启发讲解”，使学生在比较短的时间内理解知识。这是我们常用的一种方法。

例如，苏教版课改实验教材四年级上册“找规律（植树问题）”，学生比较难理解的是植树的棵数与间隔之间的关系。为此，我运用启发讲解的方法进行教学，效果比较好。

师：（多媒体出示例题中的兔子和蘑菇图）我们一起来看这幅图，图中的兔子和蘑菇是怎样排列的？

生：按一只兔子接着一个蘑菇的规律排列。

师：你说得真好！这是一种间隔排列问题，第一是兔子，最后也是兔子，像这样兔子排在开始和最后，我们把兔子看作“两端的物体”，蘑菇排在中间，我们把蘑菇看作“中间的物体”。

师：谁来说说兔子有几只？蘑菇有几个？

生：兔子有8只，蘑菇有7个。

师：（出示篱笆图）我们再来看这里的篱笆图，仔细观察，这幅图中两端的物体是什么？中间的物体是什么？

生：两端的物体是木桩，中间的物体是篱笆。

师：数一数，木桩和篱笆各是多少。

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生：木桩有13根，篱笆有12块。

师：（出示手帕图）我们再来看看这幅图中两端的物体和中间的物体分别是什么？

生：两端的物体是夹子，中间的物体是手帕。

师：夹子和手帕各有多少？

生：夹子有10个，手帕有9块。

师：请同学们将刚才观察的三幅图中两端的物体和中间的物体的个数分别填在下面的表格中。

（教师出示下面的表格，表格中的数让学生填写。）

师：请大家仔细观察表格，从中你能发现什么规律吗？

生：我发现两端的物体比中间的物体多1。

师：反过来，还可以怎么说？

生：中间的物体比两端的物体少1。

在教师的启发引导下，学生找到了规律，教学难点也由此突破。

2演示实验法。即运用演示实验的方法来攻破教学难点。演示实验，可以让学生从动态的操作过程中观察思考，从而达到理解知识的目的。

例如：“在一只底面半径是30厘米的圆柱形水桶中，有一段半径是10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从水中取出时，桶里的水面下降5厘米。这段钢材有多长？”这道题的教学难点是让学生理解钢材的体积实际上就是水下降的体积。如何在“钢材的体积”与“水下降的体积”这两者之间建立起联系，对学生来说是一个比较困难的问题。为此，我在教学时引导学生观察实验：将一段圆柱形钢材放进一个盛水的圆柱形烧杯里，使圆柱形钢材完全浸没在水中，让学生观察演示过程，教师将钢材从烧杯中取出，让学生观察水面的变化过程，并思考下面的问题：在没有拿出钢材时，水面在什么位置？当拿出钢材后，水面发生了怎样的变化？为什么会有这样的变化？钢材的体积与水下降的体积有怎样的关系？

学生通过观察思考，发现钢材取出后，烧杯里的水下降了的那一部分是一个小圆柱，而这个小圆柱的体积与圆柱形钢材的体积相等。这样学生顺利解决了圆柱形钢材的体积问题，进而迅速求出了钢材的长：3?郾14×302×5÷（3?郾14×102），问题迎刃而解。

3运用比喻法。有些基础知识，学生虽然能记住，也能运用已学的知识解决一些简单的问题，但是让他们说出其中的道理，有时往往表述不清楚，这说明学生还是没有真正理解。为此，我在教学时常常运用比喻的方法帮助学生理解知识。

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例如，对于“方程的解”和“解方程”这两个概念，学生在理解上有一定的困难，有时还会混淆。为使学生理解这两个概念，我先让学生求出x+20=100，23x=69，x-13=50中x的值，并将求得的x的值代入原方程检验，引导学生观察各等式的左右两边是否相等，抽象出“方程的解”这一概念，与此同时，说明像刚才求未知数（x）的过程，就叫做“解方程”。最后启发学生说出完整的概念。接着边打比方边演示，将一块（重10克）小石子放在天平的一边，要想知道它的重量是多少，就需要打开砝码盒，找出与小石子重量相等的砝码放在天平的另一边，使之左右平衡。那么，10克砝码便是“方程的解”，而开盒找砝码的过程就是“解方程”。

4变换叙述法。即运用变换叙述形式的方法来降低难度，攻破难点。我们经常说“思维定式”，确实，学生有时会有一种固化的思维，对于某些“标准形式”的问题，都能顺利解决，而对稍有变化的材料则出现困难。当遇到这样的情况时，教师如果能及时变换叙述形式，让学生在比较中感悟，他们就会从中得到启示，从而解决问题。

例如：“一项工程，由甲工程队修建，需要20天完成，由乙工程队修建，需要30天完成。两队先合修若干天，剩下的工程甲队又用了5天完成了全工程。甲乙两队合修了多少天？”学生对题中的表述比较难理解，给解题思路带来了干扰。为攻破难点，可将此题的叙述形式变为：“一项工程，由甲工程队修建，需要20天完成，由乙工程队修建，需要30天完成。现在由甲工程队先修5天，剩下的由甲乙两队合修，甲乙两队合修了多少天？”

显然，尽管这两道题的表述形式不一样，但是实质是一样的。因此，问题很快得到解决：

设数计算法。即运用设数举例的方法，通过计算来解决问题。有些题，看上去似乎缺少条件，从而给解决问题带来了难度，这时如果运用设数的方法，便可以很快找到解决问题的办法。

例如：“甲数比乙数多25%，乙数比甲数少百分之几？”可以设乙数为100，则甲数为100×（1+25%）=125，这样乙数比甲数少的百分率很快可以求出：（125-100）÷125=0?郾2=20%。

当然，有些题我们还可以直接用字母来表示要设的数。

如：“一个班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男女生的平均成绩分别是75?郾5分和81分。这个班男女生人数的比是多少？”

我们可以设男生为x人，女生为y人，则75?郾5x+81y=78(x+y)化简得3y=2?郾5x，也就是x∶y=6∶5，即这个班男女生人数的比是6∶5。

6画图观察法。让学生通过画线段图来攻破难点，这是一种解决问题的策略。

如：“甲乙两人各用一定的速度从AB两地同时相向而行，第一次相遇在离甲出发点A地500处。相遇后各人再继续前进，到达对方的出发点后再折回，第二次相遇在离乙出发点B地300米处。两地相距多少米？”

画出下面的线段图，就会很快找到解决问题的方法。从图中可以看出，甲乙两人走一个全程，甲行了500米，在整个过程中，甲乙两人共走了3个全程，也就是甲走了（500×3）米，还多300米，所以两地相距500×3-300=1200米。

7比较分析法。“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”（乌申斯基语）小学数学中有许多内容既有联系又有区别，在教学中充分运用比较的方法，有助于突破教学难点，防止知识的混淆，提高辨别能力。

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例如：求下面（图1）这个图形的周长（单位：厘米）

许多学生觉得这道题还缺少条件，一时无法解决这个问题。这时，可呈现一个长方形（图2），让学生对比两个图形观察思考：比较这两个图形，你觉得要求原来这个图形的周长，可以怎么求？然后进行动态演示，将两条水平的线段上移，使之与最上面的一条水平线段相连，再将两条竖着的线段右移，使之与最右边的一条竖线段相连。到此，学生茅塞顿开：这个图形的周长可以这样求出：（10+5）×2。

8巧用转化法。所谓转化，就是把原问题尽可能转化为能解决或较易解决的问题。它的特点是化难为易，化一般为特殊，化特殊为一般，化复合为单一，化隐蔽为外显。因此，适时恰当运用转化的方法，不但可以攻破难点，还可以帮助学生形成正确而灵活的思路，提高学生的分析和解决问题能力。

例如，有一个古代经典题：“传说阿拉伯有一个富商，临终时留下遗嘱：我死后把17匹马分给三个儿子。大儿子分得马总数的，二儿子分得马总数的，三儿子分得马总数的，但不允许将马杀掉，也不允许将马卖掉。富商去世后，三个儿子和亲属都无法分这些马。现在请你帮分一分这些马。

解决这个问题，如果没有想到“借来一匹马分”的思路，将会出现分到的结果不是整只数的结果。为此，我作了如下提示：能否将题中的三个分率转化成与比有关的形式呢？接着组织学生合作探究，在大家的努力下想到了假如借来一匹马则可将这个题中的三个分率转化为比，即三个儿子分得的马匹数的比是∶∶=9∶6∶2，再用按比例分配思路解决问题：大儿子得17×=9（匹），二儿子分得17×=6（匹），三儿子分得17×=2（匹）

在数学教学中，攻破难点的方法是多方面的，我们只要善于思考，依据学生的认知特点进行教学，就会攻破教学中的难点。