公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式ΣN^0＝N+1

1次方和的求和公式ΣN^1＝N(N+1)/2

2次方和的求和公式ΣN^2＝N(N+1)(2N+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那末就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式带入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

大功告成！

立方和公式推导完毕

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2