0是自然数吗_数学探讨关于0是自然数的问题

记得自己上小学时，老师就告诉我们：1、2、3、4、......这类数字，就是自然数。课本上也是这么说的，当然不包括数字“0”。由此，自然数中不包括0，在我的脑海里根深蒂固。

然而，许多年后，问题还是出现了。那时，儿子还在上小学，有一天，他指着发下来的一张数学模拟试卷问我，最小的自然数应该填几，我不假思索地回答：是1。可是第二天，儿子放学回来后，很委屈地告诉我，我告诉他的答案是错的，最小的自然数是0！这怎么可能？！我感到极其惊讶，对我而言，这是常识性的错误啊。我当时立刻翻阅了儿子的教科书，果然发现在自然数的序列里，“0”赫然排在第一位！我先是不相信自己的眼睛，其后，又怀疑是印刷错误，最后，我把它归结于编教材者的误人子弟。然而，当我最后安静下来时，又觉得事情可能并不那么简单。于是，我开始查阅一些相关的资料，结果发现，以前的的教科书中，自然数就是正整数，当然没有0。由华罗庚、苏步青、吴文俊、谷超豪等数学大家任主任编委的中国大百科全书数学卷中，在自然数的集合里，0也是被排除在外的。真正的转折出现在1993年，国家计量当局以规定的形式，确定“0”也是自然数。自此，自然数的集合中，又增添了0这个代表什么都没有的新成员。

Let me be clear，（呵呵，奥巴马的口头禅。坦白地说），我对这一纸行政命令并不心悦诚服。原因就在于“自然”这两个字。所谓自然的事，一定是有其演变发展的历史的。所以，自然的也一定是历史的。

我们认知这个世界，无一例外，都是从一个、两个孤立的事物开始的，没有哪个孩子开始学数数是从0开始的。通过不断的积累，数得越多，了解得越多，我们学会了演绎和归纳，我们的思维在向无穷高歌猛进很久之后，才慢慢地开始尝试理解渺小和虚无。古代中国的十进制，太平洋岛屿居民的五进制，印第安人的二十进制，大都起源于我们用手指或手指、脚趾并用来计数。存在决定意识，这才是发展的“自然”法则。

不同于1、2、3、4。......这些数字，0的出现要晚得多。关于0的出现，有许多不同的版本，根据有的故事记载，0最早出现于公元前3世纪，是古巴比伦王国首创的。（但自尼布甲尼撒死后，公元前539年，连新巴比伦业已被波斯所灭！时间上矛盾啊！）。但这是我看到的最早的关于0的出现的记录了。我猜想这是可能的，因为它毕竟晚于芝诺的生卒年月，否则，古希腊著名的芝诺二分悖论就不成其为悖论。芝诺的困惑在于，他不知道0的存在，所以，他无法预知他所给出的2的N次方的倒数(N为正整数）形成的级数是有极限的。也有记载表明，0出现于公元后十世纪的印度和阿拉伯半岛。但最确切记载的应该是出现在12世纪的印度，一位叫巴士卡拉的数学家明确地提出了0这个数及其性质，尽管一些性质的阐述是错误的。但这无疑是人类认识上的一个飞跃。

我最初对0被定义为自然数不以为然的原因在于，自然数应该具备序数特征。我们会这样告诉别人：处理这件事情，第一件要做的事情就是......，而绝不会说第0件事情；主席台上发言的人也不会说：今后，我们要落实好如下几项工作，第0，......,第一，......，第二，......；同样，体育竞技的优胜者，我们会赞美他得了第一名，而不是第0名。

此外，自然数若以1为起始点，后续数字的连续性就有了逻辑上的保障，只要在1的基础上连续加上1，我们就可以拥有整个自然数的集合，例如，1=1,2=1+1,3=1+1+1,4=1+1+1+1，......。但如若以0为自然数的起始点，我们就前进不了半步：0=0,0+0=0,0+0+0=0,0+0+0+0=0，......，这样，虽然(N+1)-N=1,(N为大于等于1的正整数），1-0也等于 1，但0与1、2、3、4......之间的逻辑链就完全中断了。

翻看所有的数论书籍，不管是国内的或是国外的，在谈及自然数时，0总是无一例外地被排除在自然数的序列之外的，或是被礼貌地婉拒，或是被粗暴地踹出。这是由于0的某些奇异的或曰不“自然”的属性引起的。0最引人注目的禁忌是不能做除数，这犯了动辄研究数的整除性质的数论的大忌。其次在于，0与任何数相乘都为0，换句话说，0有无数个因子，这给研究素数、合数带来极大的困扰。我曾看到这么一则报道花絮，说的是有些数学家，甚至要把2这个数字逐出素数的行列，原因很简单，没有了2，所有的、无穷无尽的素数就全都是奇数了。仅仅因为一个2，数学家们常常不得不用“奇素数”一词，来表示除了2以外的全体素数！焉能不烦？连2这个真真正正、货真价实的素数，研究数论的数学家们尚且存有欲除之而后快之心，更遑论硬往自然数序列里挤的“0”了。

今天，我们许多人认为，0是个很自然的数了，的却如此。“本次达标考试，我们班的达标率为0”；“开盘五分钟之后，该股的成交笔数为0”，我们当然明白，它们表示一个也没有。但0并不是一个简单的数字，相同的0，它背后代表的意义也许大相径庭。你期末考试考得糟糕，得了个0；我自知自己通不过考试，请了个病假逃考，下学期再考，我成绩单上也是0。但你是实实在在得了个鸭蛋，而我的0是代表缺考，没分，与面子、荣誉无关。两个老妇人，一个命运坎坷，子女早夭；另一位终身未嫁，无子无嗣，在人口普查的表格里，表示子女数的数字都是0，但意义绝不相同。

什么样的0表示实实在在的0，什么样的0代表“无”的意思，这是个有趣的问题，也许它不是数学的命题，倒像是个哲学的命题了。但不管怎么讲，我对“0”的“自然”属性还是深深敬畏的。

随着康托尔的集合论被不断地发展、完善，如今许多大、中学的数学教材都作了较大的变动与更新。进化是历史演进的规律。我只是期盼某些变动能给出合理的理由，让我们明白它所带来的益处，而不是一句简单的“与国际接轨，方便国际交流”，以及一纸命令规定。

此刻，您若是问我，0是不是自然数。我的回答将会是果断和坚定不移的：是！尽管其实多么地心有不甘。不过，平心而论，我并不觉得0的归属真有那么重要。谁又能保证，当初把正整数定义为自然数，不是某位国王或皇帝的敕令呢？现时的事物终将会在未来成为历史的一部分，成为未来的人们视为自然的东西。只要 1+1=2不变（当然不能是二进制），一切其实照旧。

“通常把正整数叫自然数。有点名气的数学家布尔吉巴还把0算作自然数。在我们的命题里，任何一个数都不会是0。因为已知它们不能被素数p整除。而0可以被任何数整除。”引自一位俄国数学家。当然，他的这番话，是在我国计量部门颁布有关规定前说的，不足为据。呵呵。

网友讨论：

yilwohz： 自然数是由数数产生的数是指1、2、3、4、5……，现有的教科书规定0是自然数，是是错误的。现在的小学教科书已经不承认0是自然数，这是正确的。想来未来的中学教科书也会改正这个错误的。

0和2、4、6、……一样是偶数。

评论：对不起，在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页中，规定自然数包括0。

好心人：

在数学里，0是一个特殊的数。因为它表示没有实际物量，所以，0没有正负性，没有虚实性，没有奇偶性，只有与其它数相比较时具有大小的意义。所以，相对于其它所有数它是个特殊的数。