一、 概念同化教学与APOS 理论

高中新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多教师仍然采取传统的概念同化教学方式，其教学步骤为[1]：(1)揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号;(2)对概念进行特殊分类，揭示概念的外延;(3)巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动;(4)概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。

这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用十分有限。因为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由教师代替学生操作、思考、体验。

美国数学教育学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说,人们透过心智结构(mental structure)使所学的数学概念产生意义。如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段[2]：

二、基于APOS理论的函数教学设计

从数学教育的研究内容来看，关于代数内容已经逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心了[3]。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。 函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的研究表明了这一点——斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的研究，见文献[4].

可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数

如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的《函数的概念》基础上进行思考，尝试用APOS理论来设计高中函数概念的教学。

(一)创设问题情境，引出课题

教师提出问题1：

我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢?在初中已经学过哪些函数?(在学生回答的基础上出示投影)

我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢?先请同学们思考下面的问题：

问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数?函数y=x与函数表示同一个函数吗?

学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。

(二)生活实例演示，操作练习[活动(A)]

问题3：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事.

(1)我离开家不久，发现自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学;

(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间;

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

活动小结：每一个时刻，按照图像，都有唯一确定的距离与它对应。

(三)借助信息技术，讨论归纳[过程(P)]

师：(实例1)演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度关于炮弹发射时间的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在的变化范围内，任给一个，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。

生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师：(实例2)引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。

生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师生：(实例3)共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

(四)从特殊到一般，引出函数概念[对象(O)]

问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点?

生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。

师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：

对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作

教师强调指出“”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，教师提出下一个问题：

问题5：一定就是函数的解析式吗?

师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。

问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢?如果能，怎样给函数重新下一个定义呢?(在学生回答的基础上教师归纳总结)

补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是( )

例1.已知函数，

(1)求函数、的定义域;

(2)求的值;

(3)当时，求的值。

(4)求

(5)求

让学生思考，并提问个别学生。

师问：怎样求函数的定义域?

追问：与有何区别与联系?

点拨：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值。

追问：如何求，又如何求一般情况的?

具体地，可以将2带入函数求出具体值，再代入求出函数值。

对于抽象的，应该将看成一个整体，带入的解析式，求出的解析式。

问题7：函数的三要素是什么?

教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

追问：如何判断两个函数是否相同?

以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。

例2.下列函数中哪个与函数相等?

(1)

(2)

(3)

(4)

师问：判断函数相等的依据是什么?

变式：若改(2)为呢?

思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗?

启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：

1.函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应;

2.函数的核心是对应法则，通常用记号表示函数的对应法则，在不同的函数中，的具体含义不一样。函数记号表明，对于定义域的任意一个在“对应法则”的作用下，即在中可得唯一的. 当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元素和它对应;值域;

3.函数符号

的说明：

(1)“”即为“是的函数”的符号表示;(2)不一定能用解析式表示;(3)与是不同的，通常，表示函数

当时的函数值;(4)在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、、等符号来表示。

4.定义域是函数的重要组成部分，如与是不同的两个函数。

(五)借助熟悉的函数，加深对函数概念的理解[图式(S)]

问题8：集合A(A=R)到集合B(B=R)的对应：

教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

(六)再创情境，引导探究函数概念的新认识[图式(S)]

问题9：比较函数的近代定义与传统定义(即初中课本函数的定义)的异同点，你对函数有什么新的认识?

学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

问题10：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。

师生：是函数;与不是同一个函数。

引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。

(七)举例应用，深化目标[图式(S)]

例3.已知函数

(1)画出函数的图象;(2)求的值;(3)你从(2)中发现了什么结论?(4)求函数的值域。

为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质(奇函数)作准备。

教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：

变式1：已知，① 当时，求函数的值域;

② 当时，求函数的值域。

变式2：已知，① 当函数值域为时，求函数定义域;② 当函数值域为时，求函数定义域。

变式3：(1)已知，求的值。(2)已知，求函数.

变式4：已知，，求①的解析式;②

的解析式;③的解析式。

以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就自然形成了。

(八)练习交流，反馈巩固

以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。

(九)学生归纳小结，教师评价

以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1.函数的近代定义与传统定义的异同点;2.集合与函数的联系、区别;3.函数的三要素;4.数形结合的思想。

三、几点启示

APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。

教学中教师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学教师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立, 有时既困难又漫长, 需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。

学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要教师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立, 即加强知识间的联系和应用,如在讲解具体的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。

当然，APOS 理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必须遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是需要一个长期实践与反思。有些学生需要在接触了大量的具体的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能渐渐地实现从“过程”到“对象”的理解，再由“对象”到“图式”的发展。作为老师，我们应该理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。