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人类已进入二十一世纪的信息时代，国民创新素质的高低将成为衡量一个国家竞争力的重要标志。江总书记曾指出：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”因此提高全民族素质，培养学生的创新意识、创新精神也就必然成为小学数学教学所面临的迫切任务。反观我国的基础中小学数学教育中，课程仍在“学科中心”理念的支配之下，教材还一直采取“定义—定理—练习”的编写方式，只突出学科系统性的编写方法，而把学生的个性发展置于无足轻重的地位；教学模式也过分单一，教学要求同一化；学生厌学，产生大量的“差生”，学有余力的学生的兴趣和能力也得不到充分发展；学生只埋头于题海中、“模拟试卷”中，学生被训练成了解题机器；而数学教材中的习题又基本是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械模仿代替智力活动的倾向……。为了突破我国数学教育当前的局面，改变这一状况，顺应时代的发展和需要，我们在数学教学中，引进了数学开放题，作为积极推进数学素质教育、创新教学的一个切入口，同时希望通过开放题的引入，促进数学教育的改革和发展。

一、数学开放题的含义

1、特征

数学开放题相对于传统的封闭题而言。传统的数学习题条件完备、结论确定，此类题称为封闭题。而数学开放题通常是指那些条件不完备、结论不确定的习题，或称为“问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余”的习题。数学开放题一般具有下列特征：

⑴问题的条件不完备

开放题的条件可以不足，也可以多余。条件不足时要求学生予以补充，条件多余时可要求学生有所选择。

例1、小敏有一些1元和5角的硬币，合起来是10元钱。小敏有几个硬币？

在本题中，给出的条件不足以确定硬币的个数，学生需要补充一些条件才能得出结论。正是由于条件的不足，从而使本题的结论具有很大的开放性。

例2、从2、3、4、5、6、7、8这七个数中，挑出六个数填在下面的括号内，使等式成立

（）+（）=（）+（）=（）+（）

在本题中，可根据七个数中的某六个数就可确定算式，条件是多余的。多余的条件使本题的解题策略具有开放性。

⑵问题的答案不确定

开放题的答案具有多样性，它决定了能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。

例3、小刚家离学校45米，小红家离学校55米，小刚家与小红家之间有多少米？

在道题有三种不同层次的解答思路：①小刚和小红家在一条直线上且在学校的两边，俩家相距45+55=100（米）②小刚和小红家在一条直线上且在学校的一边，俩家相距55－45=10（米）③小刚和小红家不在一条直线上，俩家相距大于10米，小于100米

⑶问题的解决策略具有创新性

解答开放题时，没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思想模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。

例4、一次，小敏、小红、小丽三位朋友合乘一辆出租车，大家商定，出租车费一定要合理分摊，小敏在全程三分之一处下了车，到了三分之二处，小红也下了车，最后小丽一个人坐到终点，付出18元钱，他们三人如何承担车费比较合理。

本题的一般解题方法是：按路程的多少来合理分配车费。因路程的比是1∶2∶3，

所以小敏：18÷（1+2+3）=3（元）；

小红：18÷（1+2+3）×2=6（元）；

小丽：18÷（1+2+3）×3=9（元）。

本题还有特殊的解题方法：共有三段路，每段6元，每段路所花的钱平均分配。第一段路三人都乘，每人应付2元；第二段路小红和小丽合乘，两人各付3元。这样每人应承担的车费如下：

小敏：2（元）小红：2+3=5（元）小丽：2+3+6=11（元）

如果考虑出租车的起步价，车费的分配又有所不同。

解答本题时并没有一定的解题模式可以遵循，思维呈发散性，如能找到一个新角度，就可以发现新的解答。

2、分类

对数学开放题进行分类，这不但有助于我们对开放题有一个深入的认识，而且也有利于开放题的各种研究工作。数学开放题可以选择不同的标准进行不同的分类。以下仅从思维形式这一角度对开放题进行分类。数学命题一般可根据思维形式分成“假设—推理—判断”三个部分。

⑴一个数学开放题若其未知的要素是假设，则为条件开放题。这类开放题给出了结论，要求从多种不同角度去寻求这个结论成立的条件。

例5、有三个整数，问这三个数具备什么条件时，它们的和能被3整除？

⑵一个数学开放题若其未知的要素是推理，则为策略开放题。这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。

例6制作书架时需要一块长100厘米，宽20厘米的木板，现只有一块长80厘米，宽30厘米的木板。问怎样将木板锯开，可以拼接成所需尺寸的木板？

⑶一个数学开放题若其未知的要素是判断，则为结论开放题。结论开放题就是给出了一定的条件，满足条件的答案有多个。

例7、在2、4、6、7、10的五个数中，哪一个与众不同？

⑷有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论要求主体在情境中自行设计与寻找，这类题称为综合开放题。

例8、在一个3×4（米）的长方形地块上，欲辟出一部分作为花坛，使花坛的面积是长方形地块的一半，请给出你的设计。

二、数学开放题的使用价值

由于开放题的特点是条件开放、结论开放、策略开放的问题，开放题教学作为一种新的教学形式，为学生由课堂走向社会实际架起了一座桥梁，为新知和学做的结合开辟了课程的新渠道。本人通过对开放题教学的研究，觉得数学教学中引进开放题是必要的也是必须的，其独特的作用主要有以下几个方面：

1、有利于全体学生的积极参与

素质教育的本质应该体现在面向全体和全面发展上，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生提供参与机会，使他们在参与中得到发展。新鲜而具有丰富答案的开放题使每个学生都可以从事自己力所能及的探索，优生可做得多而深一些，基础差的学生也不至于无从下手，而通过自己的努力发现的结论或设计的方案，无论程度如何，都会给学生带来快乐，而没有无可奈何的被迫练习的感觉，这样的参与带有极大的主动性。每个学生在这样的参与中都得到更好的发展。开放题教学让每个学生在积极参与中求得了发展。

2、有利于学生的主体地位得以保障、自信心得以增加

素质教育观中，主体性是衡量学生学习质量高低的主要标志。学生的主体性越突出，独立探索的机会就越多；创造性情感就越强；其创新意识和实践能力越有可能得以培养。在开放题教学中，由于学生的活动是开放的，学生自己可以提出问题来展开并进一步发展教学内容，学生可以按自己的意愿来选择其所喜欢的思维方式解决问题。这样的学习，可以使学生的自主权受到尊重，使他们的主体地位得以保障。同时学习的内容和方式是学生自己感兴趣的，从而激发了他们的学习积极性和主动性，增强了他们对学习的自信心。

3、有利于培养学生的创新意识和能力

素质教育的制高点就是要培养学生的创新意识和能力，开放题教学具有此功能。在解决开放性问题时，学生探求多种答案，有利于培养思维的独创性、发散性；学生发现使结论成立的多种条件时，有利于提高学生联想、猜测、直觉等非逻辑思维能力及分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；学生在寻找多答案中的最优解与在寻找多种条件中最优条件时，训练了学生的创造性思维能力。又开放题教学能够提供学生提高创新思维的空间。学生间的讨论、师生间的交流、学生提出质疑时，学生发展了自己、超越了自己，使创新思维能力得到有效提高。

4、有利于因材施教，发掘每个学生的潜能

心理学家加德纳（HowardGardner）曾指出：每个人都具备有多种智慧，其差异之一，仅仅是某人这几方面的智慧占优势，某人那几方面的智慧占优势；其差异之二，某些智慧已被人所显示（显能），某些智慧还没有被人所显示（潜能）；人人都具有多方面的智慧。这告诉我们，起主导地位的教师应该为每个学生创设一个良好的情境，以使每个学生的智慧得以展示，使每个学生的潜能得以发掘。以开放题为载体的开放式教学就为学生创设了一个这样好的情境：开放题由于答案、条件的不唯一性，方法的多样性，起点低、层次多，适应多层次的学生，为因材施教提供了好的材料，为每个学生提供了更多的参与机会和成功可能。

20世纪已离我们远去了，数学教育的观念已发生了巨大的变化，数学不再仅仅是为未来的科学家和工程师作准备，而是21世纪每一个公民的基本素质之一。在这种观念下，我们可以看到，数学开放题较为有效地反映了学生高层次的思维，在开放题的解答过程中，往往没有固定的、现成的模式可循，仅*死记硬背、机械模仿不可能找到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展探索活动，从多角度用多种思维方法进行探索。课堂中引进数学开放题，可以较好地培养学生的创新意识和能力，数学开放题，创新教学的切入口。