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一、对数学思想与方法的理解

如果有人问，自走上讲台，教了这么多年的中小学数学，对你影响最深的观念是什么？我会毫不犹豫地把下面的这段话搬出来：

什么是教育?

教育就是一个人学了很多的东西，到后来有的都忘了，这时留在他脑袋里面的就是教育。

当然，这话不是我说的，这是几年前我在听我国著名数学教育家邱学华老师所作的《二十一世纪的课怎样上》的讲座时听来的。不过他说这话也不是他说的，是一位比他还要伟大的伟人说的，具体是哪位伟人说的，他说他也记不清了，后来我无意中在一本书上翻到，这一观点源自于爱因斯坦，爱因斯坦说：“当学生把学校里学到的东西全都忘掉之后，所剩下来的才是素质。”

对这一观点，当初我一直都想不通，既然把学到的东西都忘掉了，那还剩下什么呢？不就是兜里一张文凭，脑袋一片空白吗？后来随着阅历的增长和不断的教学总结与反思，我才逐渐逐渐地理解了这句话的深刻含义。就拿数学来说吧，一个人从小学到中学到大学，学了很多很多的数学知识，但出身社会以后，不要说没有从事数学工作，就是我们这些天天与数学打交道的数学教师，还有几个人记得微积分的公式？又有几个人记得马鞍面、帕斯卡蜗线的性质？那么是不是说我们就没有受到过数学教育呢？显然不是，这时我们所遗忘的只是作为知识的数学，而留下的却是让我们受益终身的数学的思想与方法。

比如作为反映一元次方程根与系数关系的韦达定理，也许再过若干年，我们已经记不清了，但他留给我们的整体思想、优化思想却潜移默化地影响着我们的工作和生活。办一家企业，在既定条件下，我们总得想办法降低成本，提高效益，这不就是优化思想的体现吗？我们也许不记得黄金分割是怎么证明的了，但在生活中我们却经常要用到0.618优选法。我们在操作电脑，对一幅BMP的二进制位图进行放大时，它将变得模糊不清，而对一段FLASH动画无论放大或缩小都不会失真，这就是数形结合带给我们的好处，因为FLASH动画是基于数学公式的一种矢量图。

再比如我们学习了“减去一个数等于加上一个数相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。根据这一理论我们可以将“加”与“减”这一对对立的运算统一为“加”，“乘”与“除”这一对对立的运算统一为“乘”，这就是数学里面的对立与统一的思想，而这一思想在日常生活中又何处不在呢？两夫妻吵架，旁边一个陌生人也掺和进来，如果具有“对立与统一”思想的夫妻，可能会马上矛头一转，大喝一声：“我们吵架关你什么事？”如果再具有“转化”的思想，再乘机对对方“甜言蜜语”几句，这样夫妻可能很快“化干戈为玉帛”重归于好，而且在此基础上建立起来的感情一定会更深厚、更牢固。

古希腊的柏拉图在他的哲学学校的校门口挂着一个醒目的招牌：“不懂数学者谢绝入内”，英国的律师，美国的西点军校至今都要求他们的学员要学高深的数学，这倒并不是因为在他们的的工作中要用到多么深奥的数学知识，而是更看重了数学的思想与方法对他们未来工作所产生的影响。

这里需解释一下，数学思想与数学方法是两个内涵不同但又相互关联的概念，比如“换元”从观念层次或者说从一个人思考问题的思维方向来说，是一种数学思想，但如果把它作为解决问题的一种手段，比如用它去解一个高次方程或无理方程，则又是一种数学方法。我们常把二者合在一起，统称为“数学思想方法”。

作为一些重要的数学思想与方法，在现行小学数学教材中都涉及到了，而且在中学的数学教学大纲中还提出了明确而具体的教学要求，但由于现行教材主要是以知识结构作为编排体系的，数学思想与方法散见于整个教材之中，这就决定了数学思想与方法的教学主观随意性很大，其教学效果主要依赖于教师对数学思想与方法的理解程度，学生学到的许多知识其实并未融会贯通，往往是只有知识的“躯体”而无思想的“灵魂”，这恐怕也是中国学生缺乏创造力的原因之一。新的《课程标准》则将“反映未来公民所必需的数学思想与方法”作为首要条件，来选择和编排教学内容，数学思想与方法的渗透从小学一年级开始就有明确的要求了，比如在《标准》中就列举了这样一个案例：

计算：2+1=？

在上例所提供的问题情境中，有3个小孩在玩耍，背景还有3棵树。这3个小孩可以根据游戏中的角色分工或者性别分为两类，这3棵树也可以根据所处的位置或大小分为两类。因此，这个问题情境就蕴含分类的数学思想，学生可以从不同的角度对算式2＋1＝3的实际意义作出解释。通过这种融入数学思想与方法的教学，一定可以使学生更好地体会加法运算的意义。学生学到的2+1才不是静态的2+1，而是融会贯通的2+1，是动态的2+1，有创造力的2+1！

在《标准》的“基本理念”中明确指出：数学为其它科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是人类的一种文化，它的内容、思想方法和语言是现代文明的重要组成部份。在“课程目标”中第一条就写到：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。

由此我们可以看出，在新的《课程标准》的环境下，我们再也不能单一地就知识而讲知识，而应将融于知识中的数学思想与方法提炼出来，并通过知识的教学有意识地渗透给学生，那种死教知识，死学知识的时代已走到了历史的尽头。

二、“大众数学”意义下的数学思想和方法

《课程标准》在“基本理念”中首先提出了大众数学的观念，它包括以下三方面的内容：

1、人人学有价值的数学；

2、人人获得必需的数学；

3、不同的人在数学上得到不同的发展。

说到这里我又想起我曾经教过的一个学生，叫蒲凤莲，是个女孩子，在她小学刚毕业时，父亲便抛弃了她们母女俩另觅高枝了，对此“深仇大恨”她倒显得“若无其事”，更主要的是在数学上她总是让我“爱也不是，恨也不是”，说“爱”吧，是因为她在几何上有着特别的灵气，整个初中阶段的平面几何包括必学内容和选学内容，几乎没有难得往她的，说“恨”吧，是因为她对“数”与“式”一类的内容又有着严重的厌烦与抵触情绪。

（一）、既无实用价值，又不体现现代数学发展方向的内容应该删去，也必须删去。

我国的现行数学教育体制出现了一个令人尴尬的现象：现行中小学数学内容，不少方面学生掌握不了，而且学了没用，但考试指挥棒迫使他们非学不可；而很多既有实用功能，又有智力价值的内容，却又学不到。这主要表现在，长期以来我国中小学数学课程一直在前苏联“学科中心主义”课程模式的笼罩下，固守着他们早已改变了的传统的数学知识体系，学生在校学习的仅仅是１６、１７世纪以前的数学。随机事件、抽样、数据统计与处理、规划与运筹、决策分析、优化思想以及数学建模等一系列作为现代社会的公民所必需的数学修养的内容在数学课堂上几乎无处寻觅。同时，迄今为止我国小学、初中数学教学大纲中，仍然以计算（运算）能力、逻辑推理能力及空间观念为核心。事实上，信息社会的到来，对公民计算能力的要求已大大降低；逻辑推理能力则因局限于以平面几何为载体的三段论训练模式为重点，而陷于困境；“空间观念”一词虽然提得很好，但小学、初中的数学课本中，除了几个简单几何体的体积、表面积计算外，几乎没有任何别的三维空间的内容。而现代社会所必需的与数学的现代发展趋势一致的数学建模能力以及估算意识、应用意识、创造意识都被拒之于教科书之外。这一现象集中反映了我国现行数学教育体制的弊端，说明当前我国的数学教育状况严重滞后于社会发展，必须寻求新的教育改革思路。为此，《课程标准》在基本理念中首先提出了大众数学的思想，即：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

（二）、加强数学思想与方法的教学，是实现“大众数学”理念的重要保证。

我们所说的有价值的数学，包括显性和隐性两个方面，显性的数学包括重要的数学事实、基本的数学概念和必要的处理数学问题的技能，隐性数学的一个重要方面就是具有数学元认知作用和各种思想意识。

大众数学意义下的《课程标准》并没有局限于对现行教学大纲的增加或删减，而是寻求了一个新的思路，这个思路就是数学思想与方法，因为：

从哲学上讲：人的素质中最为核心的是它的世界观和方法论；

从数学哲学上讲：数学科学中最富有生命力，最具统摄力的是数学观和数学方法论，即数学思想方法；

从数学教育哲学上讲：决定一个学生数学修养的高低，最为重要的标志是看他如何看待数学，如何理解数学，以及能否运用数学的思想方法去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活中的问题。事实上，不同的人有不同的数学观，不同的数学观会导致不同的学习或工作行为。如果一个学生产生了数学艰深难懂，枯燥无味，高不可攀的思想，必然会导致他回避数学，回避数学教师，不接触数学读物的自闭行为，如果一个数学教师认为数学就是公式、法则、记忆、练习，那么他的课堂必然是满堂灌、注入式。

总之，思想是对知识融会贯通的理解和升华，有思想的知识才是活知识，有创造力的知识。知识是定型的，静态的，而思想是发展的，动态的，数学思想可以在数学知识的范畴以外起作用，能动地认识新的数学对象，建立新的数学模型，因此它更具有内聚力和开发性。

三、“大众数学”所体现的主要数学思想与方法

（课件演示，文字略）

1、数的意识

（1）用数来表达和交流信息例（略）

（2）估算例（略）

2、图形直观和空间观念例（略）

3、概率统计思想例（略）

4、优化思想例（略）

5、函数与方程例（略）

6、模型化方法例（略）

7、推理意识

8、计算机意识

当然，课程标准所体现的数学思想与方法除了这八种之外，还有集合的思想、极限的思想、换元的思想、数形结合的思想等……

总之，数学知识就犹如一个人的躯体，数学思想方法就犹如一个人的灵魂，我们既要关心这个“躯体”的健康成长，更要注重“灵魂”的塑造，只有知识的躯体而无思想的灵魂，必然是死的知识，没有生命力和创造力的知识。时代呼唤我们提高学生的数学素养，而无思想的数学教育，谈何“素养”？时代呼唤我们进行素质教育，而无思想的数学教育，还有素质可言吗？时代呼唤我们培养创新人才，而无思想的数学教育，创新的源泉来自何方？