2015-05-12
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在竞赛辅导中,教师发现,有些数学竞赛题,只有通过运用数学规律与性质进行转化与处理,才能左右逢源,迅速解出准确结果,让解题者在强烈的满足成就感和兴奋感的促使下,趁胜出击,以争取更大的胜利。请看如下例题:
已知正数a,b,c,d,e,f,同时满足:,
,
,
,
,
,则:a+b+c+d+e+f=__________。
解法一:由于与
,
与
,
与分别互为倒数,所以:由
得:a
=4d
,a=2d;
由得:b
=16e
,b=4e;
由,得:c
=64f
,c=8f;
由得:b
c
e
f
=1;
由得:a
c
d
f
=1;
由得:a
b
d
e
=1;
由得:c
f
=b
e
,cf=be。将“c=8f和b=4e”代入cf=be得:8f
=4e
,2f
=e
,e=
f。
由得:b
e
=a
d
,be=ad。将“a=2d和b=4e”代入be=ad得:4e
=2d
, d
=2 e
,d=
e=
f=2f。
将前述计算结果“a=2d=2e=2
f=4f,b=4e=4
f=4
f,c=8f,d=2f,e=
f”代入
中得:
,f
=
,f=
,f=
。
这样就有:a=2d=2e=2
f=4f=4
=
,b=4e=4
f=4
f=4
=2,c=8f=8
=2
,d=2f=2
=
,e=
f=
=
a+b+c+d+e+f=+2+2
+
+
+
=
=7.8025
检验:
解法二:由于给分式的分子和分母和同时乘以同一个不为零的数,分式的值大小不变,所以由得 abcdef=
;由得abcdef=
,由得abcdef=
;由得abcdef=2d
;由得abcdef=4e
;由得abcdef=8f
。可见:,a
=16f
,a=4f;
,b
=32f
,b=4
;
,c
=64f
,c=8f;2d
=8f
,d
=4f
,d=2f;4e
=2f
,e=
。
这样就有:,64f
=1,f
=
,f
=
,f=
;a=4f=4=
,b=4
=4
=2,c=8f=8
=2
,
d=2f=2=
,e=
=
=
。
a+b+c+d+e+f=+2+2
+
+
+
=
=7.8025
解法三:由于给分式的分子和分母和同时乘以同一个不为零的数,分式的值大小不变:由于:“,
,
;
,
,
”,所以:
,a=
;
,b=2;
,c=2
;
,d
=
,d=
;
,
;
;
a+b+c+d+e+f=+2+2
+
+
+
=
=7.8025
解法四:由“
=
”得“abcdef=1”。由于给分式的分子和分母同时乘以同一个不为零的数,分式的值大小不变,所以:,a=
;
,b=2;
,c=2
;
,d=
;
,e=
;
,f=
。
a+b+c+d+e+f=+2+2
+
+
+
=
=7.8025
想想看:您还有比上述更简单的解法吗?
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