第2章 平面解析几何初步 综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线3ax－y－1＝0与直线(a－23)x＋y＋1＝0垂直，则a的值是()

A．－1或13　 B．1或13

C．－13或－1 D．－13或1

解析：选D.由3a(a－23)＋(－1)1＝0，得a＝－13或a＝1.

2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()

解析：选C.直线l1：ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，

设k1＝a，m1＝b.直线l2：bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，

设k2＝b，m2＝a.

由A知：因为l1∥l2，k1＝k20，m10，即a＝b0，b0，矛盾．

由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾．

由C知：k10，m20，即a0，可以成立．

由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾．

3．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()

A．62－2 B．8

C．46 D．10

解析：选B.点A关于x轴对称点A(－1，－1)，A与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10.所求最短路程为10－2＝8.

4．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是()

A．相离 B．相切

C．相交 D．内含

解析：选D.圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02－1＝1，所以两圆内含．

5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()

A.2 B.2－1

C．2－2 D.2＋1

解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2，依题意|a＋1|22＋2322＝4，解得a＝2－1.

6．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线是()

A．3x－2y－6＝0

B．2x＋3y＋7＝0

C．3x－2y－12＝0

D．2x＋3y＋8＝0

解析：选D.∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，

设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0，

由|2－3＋c|22＋32＝|2－3－6|22＋32，

c＝8，或c＝－6(舍去)，

所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.

7．若直线y－2＝k(x－1)与圆x2＋y2＝1相切，则切线方程为()

A．y－2＝34(1－x)

B．y－2＝34(x－1)

C．x＝1或y－2＝34(1－x)

D．x＝1或y－2＝34(x－1)

解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．

8．圆x2＋y2－2x＝3与直线y＝ax＋1的公共点有()

A．0个 B．1个

C．2个 D．随a值变化而变化

解析：选C.直线y＝ax＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．

9．过P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()

A．5 B．10

C．15 D．20

解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.

|PC|＝5－12＋4－12＝5，

|PA|＝|PB|＝52－52＝25，

S＝122552＝10.

10．若直线mx＋2ny－4＝0(m、nR，nm)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是()

A．(0,1) B．(0，－1)

C．(－，1) D．(－，－1)

解析：选C.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋11，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“mn”矛盾，所以mn＜1.

11．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝1－x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()

A．(－2,2) B．(－1,1)

C．[1，2) D．(－2，2)

解析：选C. 曲线y＝1－x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．

当直线l过点(－1,0)时，m＝1；

当直线l为圆的上切线时，m＝2(注：m＝－2，直线l为下切线)．

12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()

A．4 B．2

C.85 D.125

解析：选A.∵点P在圆上，

切线l的斜率k＝－1kOP＝－11－42＋2＝43.

直线l的方程为y－4＝43(x＋2)，

即4x－3y＋20＝0.

又直线m与l平行，

直线m的方程为4x－3y＝0.

故两平行直线的距离为d＝|0－20|42＋－32＝4.

二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)

13．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．

解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.

答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4

14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA||PB|＝________.

解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|＝3，由切割线定理，|PA||PB|＝|PC|2＝3.

答案：3

15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．

解析：已知直线斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，(－2)(－a2)＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c|5＝5，c＝5，故ac＝5.

答案：5

16．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________．

解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，

得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝|31＋4－2＋m|32＋42＝|m－5|5＞1，

m＜0或m＞10.

答案：(－，0)(10，＋)

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．

解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，

所以kAC＝－32.

所以AC的方程为y－2＝－32(x－1)，

即3x＋2y－7＝0，

同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0.

下面求直线BC的方程，

由3x＋2y－7＝0，x＋y＝0，得顶点C(7，－7)，

由x－y＋1＝0，2x－3y＋1＝0，得顶点B(－2，－1)．

所以kBC＝－23，直线BC：y＋1＝－23(x＋2)，

即2x＋3y＋7＝0.

18．一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．

(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；

(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．

解：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.

(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，－2)，过点A，C的直线的方程x＋y＝0即为光线l所在直线的方程．

(2)A关于x轴的对称点为A(－3，－3)，

设过点A的直线为y＋3＝k(x＋3)．

当该直线与圆C相切时，有|2k－2＋3k－3|1＋k2＝1，解得k＝43或k＝34，

所以过点A的圆C的两条切线分别为y＋3＝43(x＋3)，y＋3＝34(x＋3)．

令y＝0，得x1＝－34，x2＝1，

所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－34，1]．

19．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

(1)此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为

(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

∵此方程表示圆，

5－m＞0，即m＜5.

(2)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，x＋2y－4＝0，

消去x得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0，

化简得5y2－16y＋m＋8＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

y1＋y2＝165，　①y1y2＝m＋85. ②

由OMON得y1y2＋x1x2＝0

即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，

16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.

将①②两式代入上式得

16－8165＋5m＋85＝0，

解之得m＝85.

(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，

化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝125，y2＝45.

x1＝4－2y1＝－45，x2＝4－2y2＝125.

M－45，125，N125，45，

MN的中点C的坐标为45，85.

又|MN|＝ 125＋452＋45－1252＝855，

所求圆的半径为455.

所求圆的方程为x－452＋y－852＝165.

20. 已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．

(1)求a、b间关系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．

解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，

又|PQ|＝|PA|，

所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2

＝1＋|PA|2，

所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，

故2a＋b－3＝0.

(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，

所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，

所以|PQ|min＝|22＋1－3|22＋12＝255.

(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝255.)

(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r＝322＋12－1＝355－1，

又l：x－2y＝0，

联立l：2x＋y－3＝0得P0(65，35)．

所以所求圆的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.

21．有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．

解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.

法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CAl，得

3－a2＋6－b2＝r2，5－a2＋2－b2＝r2，b－6a－343＝－1，解得a＝5，b＝92，r2＝254.所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－92)2＝254.

法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得

32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－343＝－1，解得D＝－10，E＝－9，F＝39.

所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.

法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－34(x－3)，

即3x＋4y－33＝0.

又因为kAB＝6－23－5＝－2，

所以kBP＝12，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.

解方程组3x＋4y－33＝0，x－2y－1＝0，得x＝7，y＝3.所以P(7,3)．

所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|＝52.

所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－92)2＝254.

22．如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．

解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d＝22－32＝1.

由点到直线的距离公式得d＝|1－k－3－4|1＋k2，

从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－724，

所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

|1－k－3－a－b|1＋k2＝|5＋1k4－a－b|1＋1k2，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以

a＋b－2＝0，b－a＋3＝0，或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，

解得a＝52，b＝－12，或a＝－32，b＝132.

这样点P只可能是点P152，－12或点P2－32，132.

经检验点P1和P2满足题目条件．