1.2.1 平面的基本性质与推论 优化训练

1．下列命题：

①公理1可用集合符号叙述为：若Al，Bl，且A，B，则必有l；

②四边形的两条对角线必相交于一点；

③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；

④梯形是平面图形．

其中，正确的命题个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A.①中应为l；②中空间四边形对角线异面；③中平面没有界线．

2．空间中可以确定一个平面的条件是()

A．两条直线 B．一点和一直线

C．一个三角形 D．三个点

答案：C

3．点M在直线a上，直线a在平面内，可记为()

A．M B．M

C．Ma D．M

答案：B

4．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面的个数是________．

答案：1个或3个

5．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道理是________．

答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面

1．如图，平面平面＝l，A，B，ABl＝D，C，且Cl，则平面ABC与平面的交线是()

A．直线AC

B．直线BC

C．直线AB

D．直线CD

解析：选D.由题意知平面ABC与平面有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线．由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内；而D在直线l上，所以它又在平面内，这样D也是平面ABC与平面的公共点．因此平面ABC与平面的交线是直线CD.

2．如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱共有()

A．3条

B．4条

C．5条

D．6条

解析：选B.依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱．∵AA1在面A1ABB1内，B1在面A1ABB1内，C1不在面A1ABB1内，C1B1是与AA1异面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是与AA1异面的棱，故正确答案为B.

3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()

解析：选C.选项A、B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ的延长线相交，选项C中的PQ与下底面平行，它与下底面中的RS不平行，不相交．

4．空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是()

A．0,1或2 B．0,2或3

C．1,2或3 D．0,1,2或3

解析：选D.若a、b、c两两异面，不能确定平面，为0个；若三线共面，为1个；若其中两条是异面直线，第3条与它们都相交，确定2个平面；若两两平行不共面，或三线交于一点且不共面，则确定3个平面．

5．下列四种叙述：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；

③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；

④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．

其中正确说法的序号是()

A．②③④ B．②③

C．①②③ D．①③

解析：选B.四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面．

6．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()

A．5部分 B．6部分

C．7部分 D．8部分

解析：选C.作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生的空间想象能力．顺利作出截面是解决本题的关键，其中l1，l2，l3是截线．

7．已知点A，直线a，平面.

①Aa，aA；②Aa，aA；③Aa，a.

以上命题正确的个数为________．

解析：①中“a”符号不对；②中A可以在内，也可以在外，故不正确；③中“A”符号不对．

答案：0

8．空间2条直线，最多确定1个平面，空间3条直线最多确定3个平面，空间4条直线最多确定________个平面……空间n条直线，最多确定________个平面．

解析：2条直线最多确定1＝212个平面；3条最多确定3＝322个；4条最多确定432＝6个；…；猜想n条最多确定nn－12个平面．

答案：6　nn－12

9．如图是正方体或正四面体，其中P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．

解析：题图①，③中的PS∥QR，所以P，Q，R，S共面，而题图②，④中的PS与QR是异面直线，所以这四个点不共面．

答案：①③

10．用符号表示下列语句，并画出图形．

(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；

(2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；

(3)平面与平面相交于过点A的直线l.

解：(1)符号：Al，Bl，如图①所示．

(2)符号：l，m＝M，如图②所示．

(3)符号：＝l，Al，如图③所示．

11. 如图所示，已知直线a与b不共面，直线ca＝M，直线bc＝N.又a平面＝A，b平面＝B，c平面＝C，求证A，B，C三点不共线．

证明：假设A，B，C三点共线，设都在直线l上．

∵A，B，C，l，cl＝C，

c与l可确定一个平面.

∵ca＝M，M.又A，

a，同理可证b.

直线a，b共面，

这与已知a与b不共面矛盾，

A，B，C三点不共线．

12．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．

已知：ABAC＝A，ABBC＝B，ACBC＝C.求证：直线AB、BC、AC共面．

证明：法一：∵ACAB＝A，

直线AB、AC确定一个平面.

∵BAB，CAC，B，C.

故BC.

因此直线AB、BC、CA都在平面内，

AB、BC、AC共面．

法二：∵A、B、C三点不在一条直线上，

过A、B、C三点可以确定平面.

∵A，B，AB，

同理，BC，AC，

AB、BC、AC共面．