第3章　不等式 综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题中正确的是()

A．a＞bac2＞bc2　 B．a＞ba2＞b2

C．a＞ba3＞b3 D．a2＞b2a＞b

解析：选C.A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；B中，当a＝0＞b＝－1时，a2＝0＜b2＝1，所以B不正确；D中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D不正确．很明显C正确．

2．设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，aR，则有()

A．M＞N B．MN

C．M＜N D．MN

解析：选B.M－N＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)

＝a20.

3．当|x|1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()

A．a－13 B．a－1

C．－1－13 D．－1－13

解析：选C.y＝ax＋2a＋1可以看成关于x的一次函数，在[－1,1]上具有单调性，因此只需当x＝－1和x＝1时的函数值互为相反数，即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)0，解这个关于a的一元二次不等式，得－1－13.

4．二次不等式ax2＋bx＋10的解集为{x|－113}，则ab的值为()

A．－6 B．6

C．－5 D．5

解析：选B.由题意a0，－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，

－1＋13＝－ba－113＝1a，

a＝－3，b＝－2.ab＝6.

5．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2－6x＋8＜0}，则(UA)B等于()

A．[－1,4) B．(2,3)

C．(2,3] D．(－1,4)

解析：选C.A＝{x|x＞3或x＜－1}，B＝{x|2＜x＜4}，

UA＝{x|－13}，则(UA)B＝{x|2＜x3}．

6．函数y＝3xx2＋x＋1(x＜0)的值域是()

A．(－1,0) B．[－3,0)

C．[－3,1] D．(－，0)

解析：选B.y＝3x＋1x＋1，∵x＜0，

－x＞0且y＜0，

x＋1x＝－(－x＋1－x)－2，

y＝3x＋1x＋1－3，当且仅当x＝－1时等号成立．

7．当x0时，不等式(5－a)x2－6x＋a＋50恒成立，则实数a的取值范围是()

A．(－，4) B．(－4,4)

C．[10，＋) D．(1,10]

解析：选B.用特殊值检验法，取a＝10，则不等式为－5x2－6x＋150，即5x2＋6x－150，当x0时，不恒成立，排除C，D，取a＝0，不等式为5x2－6x＋50，当x0时，恒成立，排除A.故选B.

8．若0＜＜＜4，sin ＋cos ＝a，sin ＋cos ＝b，则()

A．a＜b B．a＞b

C．ab＜1 D．ab＞2

解析：选A.∵0＜＜＜4，

0＜2＜2＜2且0＜sin 2＜sin 2，

a2＝(sin＋cos)2＝1＋sin2，

b2＝(sin＋cos)2＝1＋sin2，

a2－b2＝(1＋sin2)－(1＋sin2)，

＝sin2－sin2＜0，

a2＜b2.

又∵a＝sin＋cos＞0，b＝sin＋cos＞0，

a＜b.

9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域为()

解析：选B.用原点检验，求下面的两个不等式组表示的区域的并集：

x＋2y＋1＞0x－y＋4＜0或x＋2y＋1＜0x－y＋4＞0.

10．若a0，b0，则不等式－ba等价于()

A．－1b0或01a

B．－1a1b

C．x－1a或x1b

D．x－1b或x1a

解析：选D.按照解分式不等式的同解变形，

得－ba1x＋b01x－a0

1＋bxx01－axx0

xbx＋10x1－ax0

0或x－1b，x1a或x0

－1b或x1a.

法二：数形结合法，画出函数f(x)＝1x的图象，函数f(x)＝1x的图象夹在两条直线y＝－b，y＝a之间的部分的x的范围即为所求．

11．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋10恒成立，则实数a的取值范围是()

A．[－2，＋) B．(－，－2)

C．[－2,2] D．[0，＋)

解析：选A.当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；当x0时，a－x2＋1|x|＝－(|x|＋1|x|)＝f(x)，问题等价于af(x)max，∵f(x)max＝－2，故a－2.

12.函数y＝f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)f(－x)＋x的解集为()

A.－1，－255(0,1]

B．[－1,0)0，255

C.－1，－2550，255

D.－1，－255255，1

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)

13．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．

解析：因为点P(x，y)在直线y＝4－2x上运动，所以2x＋y＝4,9x＋3y＝32x＋3y232x3y＝232x＋y＝234＝18.当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时，等号成立．所以当x＝1，y＝2时，9x＋3y取得最小值18.

答案：18

14．已知不等式axx－1＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a＝________.

解析：原不等式可化为a－1x＋1x－1＜0(x－1)[(a－1)x＋1]＜0，

∵此不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，

a－1＜0且－1a－1＝2，a＝12.

答案：12

15．设实数x，y满足x－y－20，x＋2y－50，y－20，则u＝yx－xy的取值范围是________．

解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是[13，2]，即yx[13，2]，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t[13，2]上单调递增得u[－83，32]．

答案：[－83，32]

16．已知点A(53，5)，过点A的直线l：x＝my＋n(n0)，若可行域xmy＋nx－3y0的外接圆的直径为20，则实数n的值是________．

解析：由题意可知，可行域是由三条直线x＝my＋n(n0)、x－3y＝0和y＝0所围成的封闭三角形(包括边界)，如图中阴影部分．又知直线x－3y＝0过点A(53，5)，

所以|OA|＝10，外接圆直径2R＝20.

设直线l的倾斜角为，

则由正弦定理，得10sin－＝20，

所以sin＝12，tan＝33.

由tan＝1m，得1m＝33，即m＝3.

将点A(53，5)代入直线x＝3y＋n，

得53＝35＋n，解得n＝103，n＝0(舍去)．

答案：103

三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．已知a0，b0，且ab，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．

解：∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a

＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)

＝(a2－b2)a－bab＝a－b2a＋bab，

又∵a0，b0，ab，(a－b)20，a＋b0，ab0，

(a2b＋b2a)－(a＋b)0，a2b＋b2aa＋b.

18．求z＝3x－2y的最大值和最小值，式中的x，y满足条件4x－5y＋210，x－3y＋70，2x＋y－70.

解：作出可行域如图

作一组与3x－2y＝0平行的直线l，当l过C时，z最大，l过B时，z最小．

又4x－5y＋21＝0x－3y＋7＝0，得B(－4,1)；

x－3y＋7＝02x＋y－7＝0，得C(2,3)．

所以zmax＝32－23＝0，zmin＝3(－4)－21＝－14.

19．若不等式x2＋ax＋10对于一切x(0，12]成立，求a的取值范围．

解：法一：若－a212，即a－1时，则f(x)在(0，12]上是减函数，应有f(12)－52－1；

若－a20，即a0时，则f(x)在[0，12]上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a0；

若0－a212，即－10，则应有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a240恒成立，故－10；

综上，有a－52.

法二：原不等式x2＋ax＋10可化为a－(x＋1x)，

设g(x)＝－(x＋1x)，因为g(x)在(0，12]内单调递增，所以g(x)在(0，12]内的最大值是g(12)＝－52，要使不等式恒成立当且仅当a－52.

20．(2011年福州高二检测)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．

目标函数为z＝x＋0.5y，

约束条件为：4x＋y1018x＋15y0，x0，yN，

可行域如图中阴影部分的整点．

当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．

解方程组4x＋y＝1018x＋15y＝66得：M点坐标为(2,2)．

所以zmax＝x＋0.5y＝3.

所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．

21．整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x0)，试研究以下问题：

x取什么值时，草地面积减少？

x取什么值时，草地面积增加？

解：原草地面积S1＝1115＝165(m2)，

整改后草地面积为：S＝1412＝168(m2)，

∵SS1，整改后草地面积增加了．

研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为：

S2＝(11＋x)(15－x)，

∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，

当04时，x2－4x0，S1S2；

当x＝4时，x2－4x＝0，S1＝S2.

当x4时，x2－4x0，S1S2.

综上所述，当04时，草地面积增加，

当x＝4时，草地面积不变，

当x4时，草地面积减少．

22．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，cR)满足：对任意实数x，都有f(x)x，且当x(1,3)时，有f(x)18(x＋2)2成立．

(1)证明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；

(3)设g(x)＝f(x)－m2x，x[0，＋)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m的取值范围．

解：(1)证明：由条件知：

f(2)＝4a＋2b＋c2恒成立．

又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c18(2＋2)2＝2恒成立，f(2)＝2.

(2)因4a＋2b＋c＝24a－2b＋c＝0，

4a＋c＝2b＝1.

b＝12，c＝1－4a.

又f(x)x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c0恒成立．

a0.＝(12－1)2－4a(1－4a)0，

解出：a＝18，b＝12，c＝12.

f(x)＝18x2＋12x＋12.

(3)由分析条件知道，只要f(x)图象(在y轴右侧)总在直线y＝m2x＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置，

于是：y＝18x2＋12x＋12，y＝m2x＋14.

利用相切时＝0，解出m＝1＋22，

m(－，1＋22)．

另解：g(x)＝18x2＋(12－m2)x＋1214在x[0，＋)必须恒成立．

即x2＋4(1－m)x＋20在x[0，＋)恒成立，

①0，即[4(1－m)]2－80.

解得：1－221＋22.

②0，－21－m0，f00.解得：m1－22，

综上m(－，1＋22)．