2.3.2　等比数列的前n项和第二课时 优化训练

1．各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记作Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于()

A．150　 B．－200

C．150或－200 D．400或－50

解析：选A.根据等比数列前n项和的性质可知，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，且公比为q10，利用等比数列的性质可得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，所以S220－10S20－600＝0，解得S20＝－20或S20＝30.因为S20＝S10(1＋q10)＞0，所以S20＝30.再次利用等比数列的性质可得(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，求得S40＝150.

2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t5n－2－15，则实数t的值为()

A．4 B．5

C.45 D.15

解析：选B.由Sn＝t255n－15得t25＝15，

t＝5.

3．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(nN)，则f(n)等于()

A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1)

C.27(8n＋3－1) D.27(8n＋4－1)

解析：选B.依题意，f(n)是首项为2，公比为8的前n＋1项求和，根据等比数列的求和公式可得．

4．(2009年高考全国卷Ⅱ)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.

解析：由题意知{an}的公比q不为1，

又由S6＝4S3得a11－q61－q＝4a11－q31－q，解得q3＝3，

a4＝a1q3＝13＝3.

答案：3

5．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.

解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则依题意有q＞0且1＋2d＋q4＝21，1＋4d＋q2＝13.

解得d＝2，q＝2，

所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.

(2)anbn＝2n－12n－1.

Sn＝1＋32＋522＋…＋2n－32n－2＋2n－12n－1，①

2Sn＝2＋3＋52＋…＋2n－32n－3＋2n－12n－2.②

②－①，得Sn＝2＋2＋22＋222＋…＋22n－2－2n－12n－1

＝2＋2(1＋12＋122＋…＋12n－2)－2n－12n－1

＝2＋21－12n－11－12－2n－12n－1＝6－2n＋32n－1.

1．(2011年永安高二检测)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于()

A．50 B．70

C．80 D．90

解析：选B.由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)得q3＝12，

a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝10，

前9项之和等于40＋20＋10＝70.

2．已知数列{an}为等比数列，若a8a4＝2，S4＝4，则S8等于()

A．12 B．24

C．16 D．32

解析：选A.由题意知q4＝2，

S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.

3．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()

A．a(1＋p)7

B．a(1＋p)8

C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]

D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]

解析：选D.2005年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1＋p)7，2006年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1＋p)6，依此类推，则2011年存入的a元到2012年的本息和为a(1＋p)，每年所得的本息和构成一个以a(1＋p)为首项，1＋p为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝a1＋p[1－1＋p7]1－1＋p＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．

4．设数列{an}是公比为a(a1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，则点(Sn，Sn＋1)()

A．在直线y＝ax－b上 B．在直线y＝bx＋a上

C．在直线y＝bx－a上 D．在直线y＝ax＋b上

解析：选D.由题意可得，Sn＝b1－an1－a，Sn＋1＝b1－an＋11－a＝ab1－an1－a＋b＝aSn＋b，点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上．

5．等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于()

A．2 B．4

C．2 D．4

解析：选C.a8a15＝a10a13＝a11a12＝2，由{an}为递减数列，舍去－2.

6．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从2008年1月起，到2010年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{an}，若逐月累计的产值Sn＝a1＋a2＋…＋an满足Sn＝101an－36，则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)()

A．12.66% B．12.68%

C．12.69% D．12.70%

答案：B

7．已知等比数列前n项和为Sn，S10S5＝3132，则数列的公比为________．

解析：设该数列的公比为q，显然q1.

由S10S5＝3132＝a11－q101－qa11－q51－q＝1＋q5.

解得q＝－12.

答案：－12

8．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

解析：由题意S2n＝－240，S奇－S偶＝80，

得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝2.

答案：2

9．数列{an}中，an＝2n－1n为正奇数，2n－1n为正偶数.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________.

解析：S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)

＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)

＝377.

答案：377

10．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an＝5Sn－3(nN＋)，求数列{an}的通项公式．

解：an＝5Sn－3， ①

a1＝5S1－3＝5a1－3，

a1＝34.

n2时，an－1＝5Sn－1－3 ②

①②两式相减an－an－1＝5an，

an＝－14an－1故{an}为首项为34，公比为－14的等比数列，

an＝34－14n－1.

11．(2009年高考浙江卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，nN＋，其中k是常数．

(1)求a1及an；

(2)若对于任意的mN＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

解：(1)当n＝1，a1＝S1＝k＋1，

n2，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋n－[k(n－1)2＋(n－1)]＝2kn－k＋1，(*)

经验证，n＝1时(*)式成立，

an＝2kn－k＋1.

(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，

a22m＝ama4m，

即(4km－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，

整理得，mk(k－1)＝0，

对任意的mN＋成立，k＝0或k＝1.

12．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.008121.1)

解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝1.00812－11.008－1x.

又所购电器的现价及其利息之和为20001.00812，

于是有1.00812－11.008－1x＝20001.00812.

解得x＝161.008121.00812－1176(元)．

所以每期应付款176元．