第二节 指数的扩充及其运算性质

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则()

A．y3y2 B．y2y3 C．y1y3 D．y1y2

【解析】　y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(12)－1.5＝21.5，

∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.81.44，

y1y2.

【答案】D

2．若142a＋1143－2a，则实数a的取值范围是()

A.12，＋ B.1，＋ C．(－，1) D.－，12

【解析】　函数y＝14x在R上为减函数，

2a＋13－2a，a12.故选A.

【答案】　A

3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，f(x)＝3x－1，则有()

A．f(13)f(32)f(23) B．f(23)f(32)f(13)

C．f(23)f(13)f(32) D．f(32)f(23)f(13)

【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，

所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，

因为函数f(x)＝3x－1在[1，＋)上是增函数，

所以f(53)f(32)f(43)，即f(23)f(32)f(13)．故选B.

【答案】　B

4．如果函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是()

A．(0，12) B．(12，＋) C．(－，12) D．(－12，12)

【解析】　根据指数函数的概念及性质求解．

由已知得，实数a应满足1－2a01－2a1，解得a 0，

即a(0，12)．故选A.

【答案】　A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．设a0，f(x)＝exa＋aex(e1)，是R上的偶函数，则a＝________.

【解析】　依题意，对一切xR，都有f(x)＝f(－x)，

exa＋aex＝1aex＋aex，

(a－1a)(ex－1ex)＝0.

a－1a＝0，即a2＝1.

又a 0，a＝1.

【答案】　1

6．下列空格中填“或＝”．

(1)1.52.5________1.53.2，(2) 0.5－1.2________0.5－1.5.

【解析】　(1)考察指数函数y＝1.5x.

因为1.51，所以y＝1.5x在R上是 单调增函数．

又因为2.53.2，所以1.52.51.53.2.

(2)考察指数函数y＝0.5x.

因为01，所以y＝0.5x在R上是单调减函数．

又因为－1.2－1.5，所以0.5－1.20.5－1.5.

【答案】　

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．根据下列条件确定实数x的取值范围：a1a1－2x(a0且a1)．

【解析】　原不等式可以化为a2x －1a12，因为函数y＝ax(a0且a1)当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a大于0小于1时在R上是减函数，

所以当a1时，由2x－112，解得x34；

当01时，由2x－112， 解得x34.

综上可知：当a1时，x34；当01时，x34.

8．已知a0且a1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．

【解析】　设u＝－x2＋3x＋2＝－x－322＋174，

则当x32时，u是减函数，当x32时，u是增函数．

又当a1时，y＝au是增函数，当01时，y＝au是减函数，

所以当a1时，原函数f(x)＝a－x2＋3x＋2在32，＋上是减函数，在－，32上是增函数．

当01时，原函数f(x)＝a－x 2＋3x＋2在32，＋上是增函数，在 －，32上是减函数．

9．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的单调增区间，并证明．

【解析】　(1)f(－x)＝3－x＋3－ (－x)＝3－x＋3x＝f(x)且xR，

函数f(x)＝3x＋3－x是偶函数．

(2)由(1)知，函数的单调区间为(－，0]及[0，＋)，且[0，＋)是单调增区间．

现证明如下：

设0x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋3－x1－3x2－2－x2

＝3x1－3x2＋13 x1－13x2＝3x1－3x2＋3x2－3x13x13x2

＝(3x2－3x1)1－3x1＋x23x1＋x2.

∵0x2，3x23x1，3x1＋x21，

f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

函数在[0，＋)上单调递增，

即函数的单调增区间为[0，＋)．