第一章　三角函数

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝3sin(x2－4)，xR的最小正周期为()

A.2　 B．

C．2 D．4

【解析】　T＝2＝212＝4

【答案】　D

2．化简sin(9－)＋cos(－92－)＝()

A．2sin B．2cos

C．sin ＋cos D．0

【解析】　sin(9－)＋cos(－92－)＝sin(－)＋cos(2＋)＝sin －sin ＝0.

【答案】　D

3．函数f(x)＝tan x(＞0)图像的相邻的两支截直线y＝4所得线段长为4，则f(4)的值是()

A．0 B．1

C．－1 D.4

【解析】　由题意知截得线段长为一周期，T＝4，

＝4＝4，

f(4)＝tan (44)＝0.

【答案】　A

4．已知角的终边上一点的坐标为(sin 23，cos 23)，则角的最小正值为

()

A.5 B.23

C.5 D.116

【解析】　∵sin 20，cos 20，

点(sin 23，cos 23)在第四象限．

又∵tan ＝cos 23sin 23＝－33，

的最小正值为2－16＝116.

【答案】　D

5．要得到函数y＝sin(4x－3)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像()

A．向左平移3个单位长度

B．向右平移3个单位长度

C．向左平移12个单位长度

D．向右平移12个单位长度

【解析】　由于y＝sin(4x－3)＝sin[4(x－12)]，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移12个单位长度，故选D.

【答案】　D

6．设函数f(x)＝sin(2x＋3)，则下列结论正确的是()

A．f(x)的图像关于直线x＝3对称

B．f(x)的图像关于点(4，0)对称

C．把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到一个偶函数的图像

D．f(x)的最小正周期为，且在[0，6]上为增函数

【解析】　f(3)＝sin(23＋3)＝sin ＝0，故A错；

f(4)＝sin(24＋3)＝sin(3)＝cos 3＝120，故B错；把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确．

【答案】　C

7．(2012福建高考)函数f(x)＝sin(x－4)的图像的一条对称轴是()

A．x＝4 B．x＝2

C．x＝－4 D．x＝－2

【解析】　法一　∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，

故令x－4＝k2，kZ，x＝k4，kZ.

取k＝－1，则x＝－4.

法二　x＝4时，y＝sin(4)＝0，不合题意，排除A；x＝2时，y＝sin(4)＝22，不合题意，排除B；x＝－4时，y＝sin(－4)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－2时，y＝sin(－4)＝－22，不合题意，故D项也不正确．

【答案】　C

8．(2013西安高一检测)下列函数中，以为周期且在区间(0，2)上为增函数的函数是()

A．y＝sinx2 B．y＝sin x

C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x

【解析】　C、D中周期为，A、B不满足T＝.

又y＝－tan x在(0，2)为减函数，C错．

y＝－cos 2x在(0，2)为增函数．

y＝－cos 2x满足条件．

【答案】　D

9．已知函数y＝sin x3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为()

A．6 B．7

C．8 D．9

【解析】　T＝6，则5T4t，如图：

t152，tmin＝8.

故选C.

【答案】　C

10．(2012天津高考)将函数f(x)＝sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点(34，0)，则的最小值是()

A.13 B．1

C.53　 D．2

【解析】　根据题意平移后函数的解析式为y＝sin (x－4)，将(34，0)代入得sin 2＝0，则＝2k，kZ，且0，故的最小值为2.

【答案】　D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)

11．已知圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.

【解析】　1512，扇形的面积为S＝12r2＝126212＝32.

【答案】　32

12．sin(－120)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(－1 050)＝________.

【解析】　原式＝－sin(180－60cos(3360＋210)＋cos(－1 080＋60sin(－3360＋30)

＝－sin 60cos(180＋30)＋cos 60sin 30

＝－32(－32)＋1212＝1.

【答案】　1

13．(2013江苏高考)函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期为________．

【解析】　函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期T＝2.

【答案】　

图1

14．已知函数f(x)＝sin(x＋)(0)的图像如图所示，则＝________.

【解析】　由图像可知，

T＝4(23)＝43，

＝2T＝32.

【答案】　32

15．关于x的函数f(x)＝sin(x＋)有以下命题：

①对于任意的，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在，使f(x)是奇函数；④对任意的，f(x)都不是偶函数．

其中假命题的序号是________．

【解析】　当＝2k，kZ时，f(x)＝sin x是奇函数；

当＝(2k＋1)，kZ时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；

当＝2k2，kZ时，f(x)＝cos x或＝2k2，kZ时，f(x)＝－cos x都是偶函数．

所以①和④是错误的，③是正确的．

又因为无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④.

【答案】　①④

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．

(1)求：sin(－x)－sin(2＋x)的值；

(2)写出角x的集合S.

【解】　∵x的终边过点P(1，3)，

r＝|OP|＝12＋32＝2.

sin x＝32，cos x＝12.

(1)原式＝sin x－cos x＝3－12.

(2)由sin x＝32，cos x＝12.

若x[0,2]，则x＝3，

由终边相同角定义，S＝{x|x＝2k3，kZ}.

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)＋2(A＞0，＞0)图像上的一个最高点的坐标为(8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝2交于点(38，2)，若(－2)．

(1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)求函数的对称中心．

【解】　(1)由题意得A＝22－2＝2.

由T4＝38＝4，

周期为T＝.

＝2T＝2＝2，

此时解析式为y＝2sin(2x＋)＋2.

以点(8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有

28＋2，

4，

y＝2sin(2x＋4)＋2.

(2)由2x＋4＝kZ)得x＝k8(kZ)．

函数的对称中心为(k8，2)(kZ)．

18．(本小题满分12分)(2012陕西高考)函数f(x)＝Asin(x－6)＋1(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设(0，2)，f(2)＝2，求的值．

【解】　(1)∵函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2.

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，

最小正周期T＝，＝2，

函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－6)＋1.

(2)∵f(2)＝2sin(－6)＋1＝2，

sin(－6)＝12.

∵02，－－3，

－6，＝3.

19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b0)的最大值为32，最小值为－12.

(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；

(2)判断(1)问中函数的奇偶性．

【解】　(1)∵y＝a－bcos 3x，b0，

ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.

函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，

此函数的周期T＝23.

当x＝2k6(kZ)时，函数取得最小值－2；

当x＝2k6(kZ)时，函数取得最大值2.

(2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，xR，

－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，

f(x)为奇函数．

20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(x＋0，0，|2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．

图2

(1)求函数f1(x)的表达式；

(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移4个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．

【解】　(1)由题意知T＝，＝2.

将y＝Asin 2x的图像向左平移12，得y＝Asin(2x＋)的图像，于是＝212＝6.

将(0,1)代入y＝Asin(2x＋6)，得A＝2.

故f1(x)＝2sin(2x＋6)．

(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－4)＋6]

＝－2cos(2x＋6)，xKb 1. Com

y＝f2(x)的最大值为2.

当2x＋6＝2k(kZ)，

即x＝k12(kZ)时，ymax＝2，

x的集合为{x|x＝k12，kZ}．

∵y＝cos x的减区间为x[2k，2k]，kZ，

f2(x)＝－2cos (2x＋6)的增区间为{x|2k2x＋2k，kZ}，解得{x|k12k12，kZ}，

f2(x)＝－2cos(2x＋6)的增区间为x－12，k12]，kZ.

图3

21．(本小题满分13分)已知定义在区间[－3]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－6对称，当x[－6，23]时，函数f(x)＝Asin(x＋0，0，－2)，其图像如图所示．

(1)求函数y＝f(x)在[－3]上的表达式；

(2)求方程f(x)＝22的解．

【解】　(1)由图像可知，A＝1，T4＝26＝2，

T＝2.

＝2T＝2＝1.

∵f(x)＝sin(x＋)过点(23，0)，

23＋.

3.

f(x)＝sin(x＋3)，x[－6，23]．

∵当－x6时，－－x－23，

又∵函数y＝f(x)在区间[－3]上的图像关于直线x＝－6对称，

f(x)＝f(－x－3)＝sin[(－x－3)＋3]＝sin(－x)＝－sin x，x[－，－6]．

f(x)＝sinx＋3，x[－6，23]，－sin x，x[－，－6.

(2)当－x3时，x＋.

由f(x)＝sin(x＋3)＝22，得x＋4或x＋3＝34，

x＝－12或x＝512.

当－x6时，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－4或x＝－34.

方程f(x)＝22的解为x＝－12或512或－4或－3