数学必修1(苏教版)

2.3　对 数 函 数

2．3.1　对数

2010年我国国民经济生产总值为a亿元，若按平均每年增长10%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2010年的2倍？假设经过x年，则有a(1＋10%)x＝2a，即1.1x＝2，那么如何求指数x呢？

基础巩固

1．(2013浙江卷)已知x、y为正实数，则()

A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y

B．2lg(x＋y)＝2lg x2lg y

C．2lg xlg y＝2lg x＋2lg y

D．2lg(xy)＝2lg x2lg y

答案：D

2．(log29)(log34)＝()

A.14 B.12 C．2 D．4

解析：原式＝lg 9lg 2lg 4lg 3＝2lg 32lg 2lg 2lg 3＝4.

答案：D

3． )(3－22)＝()

A．2 B．4 C．－2 D．－4

解析：∵3－22＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.

原式＝－2.

答案：C

4．设log83＝p，log35＝q，则lg 5为()

A．p2＋q2 B.15(3p＋2q)

C.3pq1＋3pq D．pq

解析：由题知lg 3lg 8＝p，

p＝lg 33lg 2，q＝lg 5lg 3，

lg 5＝qlg 3＝q(3plg 2)＝3pqlg 105＝3pq(1－lg 5)，

即：lg 5＝3pq－3pqlg 5，lg 5＝3pq1＋3pq.

答案：C

5．若y＝log56log67log78log89log910，则y＝()

A．1＋log25 B．1＋log52

C．1－log25 D．1－log52

解析：由题知y＝lg 6lg 5lg 7lg 6lg 8lg 7lg 9lg 8lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log510＝1＋log52.

答案：B

6．若a0且a1，x0，nN＋，则下列各式中恒成立的有________个．

①(logax)n＝nlogax　 ②(logax)n＝logaxn

③logax＝－loga1x　 ④logax－yx＋y＝－logax＋yx－y

答案：2

7．已知01,01，如果 ，则x的取值范围是________．

解析：由01得logb(x－2)0，由01得0x－223.

答案：(2,3)

8．x＝log23,4y＝83，则x＋2y的值为________．

解析：∵4y＝83，22y＝83，

2y＝log283，x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3.

答案：3

9．若f(x)＝ ，且f(lg a)＝10，求a的值．

解析：由f(lg a)＝10得 －12＝10，两边取常用对数得(lg a)2－12lg a＝lg 10，即2(lg a)2－lg a－1＝0.

lg a＝1或lg a＝－12，故a＝10或1010.

能力提升

10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝()

A．1 B．2 C．5 D．10

解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.

答案：A

11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则 ＝()

A.14 B.12 C．1 D．2

解析：由韦达定理，lg a＋lg b＝2，lg alg b＝12，

lg ab2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－412＝2.

答案：D

12．设a、b、c都是正数，且3a＝4b＝6c，则()

A.1c＝1a＋1b B.2c＝2a＋1b

C.1c＝2a＋2b D.2c＝1a＋2b

解析：设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，

c＝log6t.

1a＝logt3，1b＝logt4，1c＝logt6.

2a＋1b＝logt9＋logt4＝2logt6＝2c.

答案：B

13．若2m＝3n＝36，则1m＋1n＝________.

解析：∵2m＝3n＝36，m＝log236，n＝log336，

从而：1m＋1n＝log362＋log363＝log366＝12.

答案：12

14．(2013上海卷)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为________．

解析：去分母整理得32x－23x－8＝03x＝4

x＝log34.

答案：log34

15．已知log5[log4(log3x)]＝0，则x＝________.

答案：81

16．计算：1－log632＋log62log618log64.

解析：

原式＝1－2log63＋log632＋log663log663log64

＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64

＝1－2log63＋log632＋1－log632log64

＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.

17．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根14、18；乙写错了常数c，得到根12、64.求原方程的根．

解析：原方程可变形为log22x＋blog2x＋c＝0.

由于甲写错了常数b，得到的根为14和18，

c＝log214log218＝6.

由于乙写错了常数c，得到的根为12和64，

b＝－log212＋log264＝－5.

故原方程为log22x－5log2x＋6＝0.

因式分解得(log2x－2)(log2x－3)＝0.

log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.

点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.已知二次项系数为1方程的根为x1、x2时，方程可写成(x－x1)(x－x2)＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.

18．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求lg xy的值．

解析：由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为 －5xy＋4＝0，解得xy＝4或xy＝1，又∵x0，y0，x－2y0，xy2，故xy＝4， xy＝ 4＝ (2)4＝4.