数学必修1(苏教版)

2．5　函数与方程

2．5.1　函数的零点

已知二次函数y＝x2－2x－3，令y＝0即x2－2x－3＝0时，这是一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系？

基础巩固

1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()

A．(0,1) B．(1,1.25)

C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)

解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－140，f(2)＝lg 20.

答案：D

2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.

答案：C

3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()

A．f(m－1)0

B．f(m－1)0

C．f(m－1)＝0

D．f(m－1)与0的大小不能确定

解析：结合图象易判断．

答案：A

4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()

A．(－2，－1) B. (－1,0)

C. (0,1) D．(1,2)

解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以零点在区间(0,1)上，选C.

答案：C

5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________

解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.

答案：log23

6．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点是__________．

解析：利用定义可求解．

答案：1，352

7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．

解析：由零点定义可求解．

答案：3

8．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当234时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nN*)，则n＝________.

解析：根据f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，

f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，

x0(2,3)，故n＝2.

答案：2

9．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．

证明：令f(x)＝x2x－1，

则f(x)在区间(－，＋)上的图象是一条连续不断的曲线．

当x＝0时，f(x)＝－10.当x＝1时，f(x)＝10.

f(0)f(1)0，故在(0,1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足01，且f(x0)＝0，故方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．