2016-10-26
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数学必修1(苏教版)
2.5 函数与方程
2.5.1 函数的零点
已知二次函数y=x2-2x-3,令y=0即x2-2x-3=0时,这是一元二次方程,那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系?
基础巩固
1.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间()
A.(0,1) B.(1,1.25)
C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)
解析:设f(x)=lg x +x-2,则f(1.75)=f74=lg 74-140,f(2)=lg 20.
答案:D
2.函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0的零点个数为()
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析::x0时由x2+2x-3=0x=-3;x0时由-2+lnx=0x=e2.
答案:C
3.设函数f(x)=x2-x+a(a0),若f(m)0,则()
A.f(m-1)0
B.f(m-1)0
C.f(m-1)=0
D.f(m-1)与0的大小不能确定
解析:结合图象易判断.
答案:A
4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()
A.(-2,-1) B. (-1,0)
C. (0,1) D.(1,2)
解析:因为f(0)=-10,f(1)=e-10,所以零点在区间(0,1)上,选C.
答案:C
5.函数f(x)=4x-2x+1-3的零点是________
解析:由4x-2x+1-3=0(2x+1)(2x-3)=02x=3, x=log23.
答案:log23
6.函数f(x)=(x-1)(x2-3x+1)的零点是__________.
解析:利用定义可求解.
答案:1,352
7.若函数y=x2-ax+2有一个零点为1,则a等于__________.
解析:由零点定义可求解.
答案:3
8.已知函数f(x)=logax+x-b(a0且a1),当234时,函数f(x)的零点为x0(n,n+1)(nN*),则n=________.
解析:根据f(2)=loga2+2-blogaa+2-3=0,
f(3)=loga3+3-blogaa+3-4=0,
x0(2,3),故n=2.
答案:2
9.证明:方程x2x=1至少有一个小于1的正根.
证明:令f(x)=x2x-1,
则f(x)在区间(-,+)上的图象是一条连续不断的曲线.
当x=0时,f(x)=-10.当x=1时,f(x)=10.
f(0)f(1)0,故在(0,1)内至少有一个x0,当x=x0时,f(x)=0.即至少有一个x0,满足01,且f(x0)=0,故方程x2x=1至少有一个小于1的正根.
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