函数的最值课后强化练习2（附解析新人教A版必修1）

一、选择题

1．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意xR，有f(x)M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0R，使得对任意xR，且xx0有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0R，使得对任意xR，且xx0有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确的个数为()

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案]　C

2．函数f(x)＝2x＋6，x1，2]，x＋7，x[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值是()

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不对

[答案]　A

[解析]　f(x)＝2x＋6，x[1,2]最大值为10，最小值为8，f(x)＝x＋7，x[－1,1)最大值为8，最小值6.因此f(x)＝2x＋612x＋7－1x＜1最大值为10，最小值为6，故选A.

3．(2013～2014石家庄高一检测)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()

A．2 B．－2

C．2或－2 D．0

[答案]　C

[解析]　当a＝0时，不满足题意；当a0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝2.

4．函数f(x)＝x2－4x＋3，x[1,4]，则f(x)的最大值为()

A．－1 B．0

C．3 D．－2

[答案]　C

[解析]　f(x)＝x2－4x＋3的对称轴为x＝2，所以最大值为f(4)＝42－44＋3＝3.

5．函数f(x)＝2x－1＋x的值域是()

A．[12，＋) B．(－，12]

C．(0，＋) D．[1，＋)

[答案]　A

[解析]　∵y＝2x－1和y＝x在[12，＋)上都是增函数，f(x)在[12，＋)上是单调增函数．

f(x)f(x)min＝f(12)＝12.

6．若014，则1t－t的最小值是()

A．－2 B．154

C．2 D．0

[答案]　B

[解析]　y＝1t－t在(0，14]上为减函数，当t＝14时y有最小值154，故选B.

二、填空题

7．若函数y＝kx(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．

[答案]　20

[解析]　∵k＞0，函数y＝kx在[2,4]上是减函数，当x＝4时，ymin＝k4，此时k4，此时k4＝5，k＝20.

8．函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________.

[答案]　2

[解析]　f(x)是二次函数，二次项系数1＞0，

则最小值为f(－b2)＝b24－b22＋1＝0，

解得b＝2.

9．(能力拔高题)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2，总有fx1－fx2x1－x2＞0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．

[答案]　b

[解析]　由fx1－fx2x1－x2＞0，得f(x)在R上是增函数，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－1)＝b.

三、解答题

10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.

∵x[－5,5]，f(x)min＝f(1)＝1；

f(x)max＝f(－5)＝37.

(2)∵f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，

函数的对称轴为直线x＝－a.

∵函数f(x)在[－5,5]上是单调的，

－a－5或－a5，

即a5或a－5.

实数a的取值范围是{a|a5或a－5}．

11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x(x[2，＋))．

(1)证明函数f(x)为增函数；

(2)求f(x)的最小值．

[解析]　将函数式化为：f(x)＝x＋3x＋2.

(1)任取x1，x2[2，＋)，且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－3x1x2)．

∵x1＜x2，　x1－x2＜0，

又∵x12，x2＞2，x1x2＞4,1－3x1x2＞0.

f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．

故f(x)在[2，＋)上是增函数．

(2)当x＝2时，f(x)有最小值112.

12．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式．

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本价)?

[分析]　本题属于函数建模应用题，解决此类问题的关键在于读懂题，恰当设出未知量，列出函数关系．

[解析]　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则

x0＝100＋60－510.02＝550.

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格为51元．

(2)当0100时，P＝60.

当100550时，

P＝60－0.02(x－100)＝62－x50.

当x550时，P＝51.

所以P＝f(x)＝60，010062－x50，100550，xN51，x550..

(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

L＝(P－40)x＝20x，010022x－x250，100550，xN11x，x550.

当x＝500时，L＝6 000；

当x＝1 000时，L＝11 000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．