函数的奇偶性同步检测1（带解析新人教A版必修1）

一、选择题

1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()

[答案]　B

2．下列命题中错误的是()

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；

②奇函数的图象一定过原点；

③偶函数的图象与y轴一定相交；

④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数．

A．①② B．③④

C．①④ D．②③

[答案]　D

[解析]　f(x)＝1x为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝x－1x1－x－1－1为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．

3．(2013～2014山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是()

A．y＝x4－3 B．y＝x2　x(－3,3]

C．y＝－3x D．y＝2(x－1)2＋1

[答案]　A

4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx()

A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数

[答案]　A

[解析]　∵f(－x)＝f(x)，

a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对xR恒成立．

b＝0.

g(x)＝ax3＋cx.

g(－x)＝－g(x)．

5．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝()

A．－15 B．15

C．10 D．－10

[答案]　A

[解析]　解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，

f(3)＝－15.

解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，

∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，

g(3)＝－10，f(3)＝g(3)－5＝－15.

6．(2011辽宁)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()

A．12 B．23

C．34 D．1

[答案]　A

[分析]　因为已知函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此求a.

[解析]　要使函数式有意义，则x－12，xa，而函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a＝12.经验证当a＝12时，函数f(x)是奇函数．

二、填空题

7．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋2)＋f(11－2)＝________.

[答案]　0

[解析]　11－2＝－(1＋2)，f(1＋2)＋f(11－2)＝f(1＋2)－f(1＋2)＝0.

8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

[答案]　6

[分析]　将x＝－2代入g(x)＝f(x)＋9，利用f(－2)＝－f(2)求f(2)．

[解析]　根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.

9．(2013～2014河南安阳一中月考试题)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b)是偶函数，它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.

[答案]　－2x2＋4

[解析]　由于f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，

所以f(－x)＝bx2－(ab＋2a)x＋2a2，

ab＋2a＝0，a＝0或b＝－2.

又f(x)最大值4.所以b＝－2，

且f(0)＝2a2＝4，a＝2，

f(x)＝－2x2＋4.

三、解答题

10．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式．

[解析]　因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，

所以f(0)＝0，即b＝0.

又f12＝25，所以12a1＋122＝25，

所以a＝1，所以f(x)＝x1＋x2.

11．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．

[解析]　f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2

又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：

f(x)＝x2－2，g(x)＝x.

12．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，yR都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)0.

(1)求证：f(0)＝1.

(2)判断函数的奇偶性．

[解析]　(1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，

因f(0)0，则f(0)＝1.

(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，

f(x)是偶函数．