函数的奇偶性同步检测2（有解析新人教A版必修1）

一、选择题

1．(2014全国高考卷Ⅰ)设函数f(x)、g(x)定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

[答案]　C

[解析]　设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，h(x)是奇函数，故A错，同理可知B、D错，C正确．

2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是()

A．f(x)＝x＋1x B．f(x)＝x2－1x

C．f(x)＝1－x2 D．f(x)＝x3

[答案]　D

[解析]　∵对于A，f(－x)＝(－x)＋1－x＝－(x＋1x)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，

A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．

3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)上的表达式为()

A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)

C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)

[答案]　D

[解析]　当x0时，－x0，

f(－x)＝x2＋2x.又f(x)是奇函数，

f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

f(x)＝x2－2x，x0，－x2－2x，x0.

f(x)＝x(|x|－2)．故选D.

4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋)上有最大值5，那么h(x)在(－，0)上的最小值为()

A．－5 B．－1

C．－3 D．5

[答案]　B

[解析]　解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，

则F(x)为奇函数．

∵x(0，＋)时，h(x)5，

x(0，＋)时，F(x)＝h(x)－23.

又x(－，0)时，－x(0，＋)，

F(－x)－F(x)3

F(x)－3.

h(x)－3＋2＝－1，选B.

5．函数y＝f(x)对于任意x，yR，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则()

A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3

B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3

C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2

D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2

[答案]　D

[解析]　设任意x1，x2R，x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.

∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f(x)＞1，

f(x2－x1)＞1.

f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)．

f(x)在R上是增函数．

∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，f(1)＝2.

6．(2013～2014胶州三中高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()

A．(－1,0)(1，＋) B．(－，－1)(0,1)

C．(－，－1)(1，＋) D．(－1,0)(0,1)

[答案]　D

[解析]　奇函数f(x)在(0，＋)上为增函数，且f(1)＝0，fx－f－xx＝2fxx0.

由函数的图象得解集为(－1,0)(0,1)．

二、填空题

7．(2013～2014上海大学附中高一期末考试)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.

[答案]　－1

[解析]　f(x)＝1x(x＋1)(x＋a)为奇函数

g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，

故g(－1)＝g(1)，a＝－1.

8．(2013～2014山东冠县武训中学月考试题)对于函数f(x)，定义域为D＝[－2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)

①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)在D上为偶函数

②若f(－1)＜f(0)＜f(1)＜f(2)，则y＝f(x)在D上为增函数

③若对于x[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)在D上是奇函数

④若函数y＝f(x)在D上具有单调性且f(0)＞f(1)则y＝f(x)在D上是递减函数

[答案]　③④

[解析]　显然①②不正确，③④正确．

9．偶函数f(x)在(0，＋)上为增函数，若x10，x20，且|x1||x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．

[答案]　f(x1)f(x2)

[解析]　∵x10，－x10，

又|x1||x2|，x20，－x10，

∵f(x)在(0，＋)上为增函数，f(－x1)f(x2)，

又∵f(x)为偶函数，f(x1)f(x2)．

此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．

三、解答题

10．设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a、b、cZ)，且f(1)＝2，f(2)3，求a、b、c的值．

[解析]　由条件知f(－x)＋f(x)＝0，

ax2＋1bx＋c＋ax2＋1c－bx＝0，

c＝0又f(1)＝2，a＋1＝2b，

∵f(2)3，4a＋12b3，4a＋1a＋13，

解得：－12，a＝0或1，

b＝12或1，由于bZ，a＝1，b＝1，c＝0.

11．已知函数f(x)＝x2＋ax(x0，常数aR)．

(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在[2，＋)上为增函数，求实数a的取值范围．

[分析]　(1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．

[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，

对任意x(－，0)(0，＋)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．

f(x)为偶函数．

当a0时，f(x)＝x2＋ax(a0，x0)，

取x＝1，得f(－1)＋f(1)＝20，f(－1)－f(1)＝－2a0，

即f(－1)－f(1)，f(－1)f(1)，

函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)设2x2，则有f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在[2，＋)上为增函数，则需f(x1)－f(x2)0恒成立．

∵x1－x20，x1x24，

只需使ax1x2(x1＋x2)恒成立．

又∵x1＋x24，

x1x2(x1＋x2)16，

故a的取值范围是(－，16]．

12．已知函数f(x)的定义域是(0，＋)，当x1时，f(x)0，且f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(1)；

(2)证明f(x)在定义域上是增函数；

(3)如果f(13)＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)2的x的取值范围．

[分析]　(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．

[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.

(2)证明：令y＝1x，得f(1)＝f(x)＋f(1x)＝0，故f(1x)＝－f(x)．任取x1，x2(0，＋)，且x1x2，

则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)．

由于x2x11，故f(x2x1)0，从而f(x2)f(x1)．

f(x)在(0，＋)上是增函数．

(3)由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)，故f(3)＝1.

在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得

f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.

故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)f(9)，

f(x)f[9(x－2)]，x94，

又x0x－20，294，

x的取值范围是(2，94]．

规律总结：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(xy)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f(1x)＝－f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．